**5. Conclusion**

*Filter equations*

\_

*<sup>R</sup>*<sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>М</sup> *<sup>X</sup>*<sup>0</sup> � *<sup>X</sup>*^ <sup>0</sup>

*<sup>X</sup>*^ *<sup>t</sup>* <sup>¼</sup> *аХ*^*<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> *<sup>a</sup>*2*ζ<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> *<sup>а</sup>*<sup>0</sup> <sup>þ</sup> *Rtq<sup>T</sup>*

� � *<sup>X</sup>*<sup>0</sup> � *<sup>X</sup>*^ <sup>0</sup> � �*<sup>T</sup>* h i

*U* <sup>∗</sup>

gration of Riccati Eq. (54) is used.

*Probability, Combinatorics and Control*

*Regulator equations*:

*Auxiliary equations*:

equations (**Figure 12**).

given time interval [*t*0*, tf* ]

**Figure 12.**

**138**

*Optimal stochastic regulator.*

matrix of OTES-OS and OTES-NS intensifies of noises;

*π* ∗

*<sup>g</sup>*\_*<sup>t</sup>* <sup>¼</sup> *<sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>*

*<sup>k</sup>* ¼ �*Г*�<sup>1</sup>

*<sup>R</sup>*~*<sup>k</sup>* <sup>¼</sup> *ВТ*

*<sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>* ¼ �*R*~*<sup>t</sup>*

*<sup>Х</sup><sup>k</sup>* <sup>¼</sup> *<sup>В</sup>xXk*�<sup>0</sup> � *BuГ*�<sup>1</sup>

*<sup>t</sup>* ¼ �*K*�<sup>1</sup>

*ξπK*�<sup>1</sup> *<sup>π</sup> ξ<sup>T</sup> <sup>π</sup>* � *<sup>ξ</sup><sup>T</sup> x*

*<sup>u</sup> <sup>B</sup><sup>Т</sup>*

*<sup>ξ</sup><sup>x</sup>* � *<sup>ξ</sup><sup>T</sup>*

*<sup>π</sup> ξ<sup>T</sup> <sup>π</sup> <sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>*

*uR*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> <sup>I</sup> <sup>þ</sup> *BuГ*�<sup>1</sup>

*<sup>x</sup> <sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> *<sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>*

*<sup>х</sup> <sup>R</sup>*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> <sup>I</sup> <sup>þ</sup> *ВиГ*�<sup>1</sup>

*<sup>X</sup>*\_ *<sup>t</sup>* <sup>¼</sup> *<sup>а</sup>Xt* <sup>þ</sup> *<sup>a</sup>*2*ζ<sup>t</sup>* � *ξπK*�<sup>1</sup>

*<sup>u</sup> <sup>B</sup><sup>Т</sup>*

*<sup>X</sup>*^ *<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> 1 2 *gt*

*<sup>u</sup> <sup>B</sup><sup>Т</sup> uR*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> � ��<sup>1</sup>

> *ξπK*�<sup>1</sup> *<sup>π</sup> ξ<sup>T</sup>*

*<sup>и</sup> ВТ <sup>и</sup>R*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> � ��<sup>1</sup>

> *<sup>π</sup> ξ<sup>T</sup> <sup>π</sup> <sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>*

*<sup>u</sup> <sup>B</sup><sup>Т</sup> uR*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> � ��<sup>1</sup>

*<sup>X</sup>*^ *<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> 1 2 *gt*

� �

Inverse time integration of Riccati Eqs. (57) and (58) is needed Eq. (51). The continuous-discrete Kalman filter equations are inter connected with regulator

At last we get equations describing OTES-CALS dynamics with optimal continuous-discrete regulator insuring minimal deviation from given plan during

*uR*~*<sup>k</sup>*þ<sup>0</sup> <sup>I</sup> <sup>þ</sup> *BuГ*�<sup>1</sup>

where *ζ<sup>t</sup>* is external noise from OTES-NS also acting on OTES-OS.

� �

*<sup>t</sup> υ*�<sup>1</sup>

*<sup>R</sup>*\_ *<sup>t</sup>* <sup>¼</sup> *aRt* <sup>þ</sup> *Rta<sup>T</sup>* <sup>þ</sup> *<sup>υ</sup><sup>х</sup>* � *Rtq<sup>T</sup>*

*<sup>z</sup> Zt* � *qt*

*<sup>Х</sup>*^*<sup>k</sup>* <sup>¼</sup> *BxX*^ *<sup>k</sup>*�<sup>0</sup> <sup>þ</sup> *BxU* <sup>∗</sup>

where *Zt* <sup>¼</sup> *<sup>G</sup>*\_ *<sup>t</sup>*, *<sup>υ</sup><sup>х</sup>* is matrix of in OTES-CALS internal noises intensities; *<sup>υ</sup><sup>z</sup>* is

*<sup>X</sup>*^ *<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> *<sup>b</sup>*2*ζ<sup>t</sup>* � � � � <sup>þ</sup> *ξππ* <sup>∗</sup>

> *<sup>t</sup> υ*�<sup>1</sup> *<sup>z</sup> qt*

� �*gt* � <sup>2</sup>*R*~*ttа*2*ζt, gtf* <sup>¼</sup> <sup>0</sup> (55)

is initial conditions for Eq. (53). Direct time inte-

*<sup>t</sup>* (51)

*<sup>k</sup>* (52)

*Rt* (53)

*,* (54)

*BxX*^ *<sup>k</sup>*�<sup>0</sup>*,* (56)

*<sup>π</sup> <sup>R</sup>*~*<sup>t</sup>* � *Kx, <sup>R</sup>*~*tf* <sup>¼</sup> *Htf* (57)

*В<sup>x</sup>* þ *Kx* (58)

*,* (59)

*BxX*^ *<sup>k</sup>*�<sup>0</sup> (60)

The suggested probabilistic methodology for OTES-CALS allows to solve:


Such systems are industrial, energetical, transport systems, financial and economic systems, insurance companies, etc.

Optimization being realized using social-technical-economic criteria. This permits to optimize project budgets for providing given quality MP and OTES-CALS staff potential.
