CΔ,

<sup>⊥</sup>. If

For 4MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup><1, we have, <sup>a</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0. Continuing and using

Note, ð Þ ak; bk;ck is a Cauchy sequences which converges to ð Þ a∞; 0; 0 , where

<sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup> � �<sup>k</sup>

The above exercise was illustrative. Now we use an iterative procedure as above

� �


<sup>⊥</sup>, consider again the iterations

U<sup>0</sup> ¼ exp ð Þ �c0Δ exp ð Þ a0Δ þ b0Δ exp ð Þ �b0Δ þ c0Δ

c<sup>0</sup> ∈k, is bounded c<sup>0</sup> # Mhb0, where M as before converts between two different

which gives <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup>′<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> Mh<sup>Þ</sup> # <sup>1</sup> � . For appropriate

M′

<sup>3</sup> ð Þ <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup>

<sup>3</sup> ð Þ <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup>

<sup>3</sup> ð Þ <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup>

<sup>¼</sup> exp ð Þ �c0<sup>Δ</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> � �

j j ak � ak�<sup>1</sup> <sup>0</sup> # <sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup> � �<sup>k</sup>

∞ k¼1

AdKð Þ¼ Xd P AdKð Þ Xd

<sup>¼</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> � �

We refer to Remark 5, Eq. (45). Given b0Δ ∈p such that b0Δ ∈f

norms. Using bounds derived above <sup>b</sup><sup>0</sup>′ # M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>b</sup>0, and <sup>c</sup><sup>0</sup>′ # MMhb <sup>~</sup> 0,

a<sup>1</sup> # a<sup>0</sup> þ

b<sup>1</sup> # M′

c<sup>1</sup> # M′

¼ exp ð Þ a1Δ þ b1Δ þ c1Δ

Ak′A′ ¼ �b0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0Δ, then <sup>∥</sup>k′<sup>∥</sup> # <sup>h</sup>∥b0Δ<sup>∥</sup> (killing norm).

, where ∣X∣ is Frobenius norm and

subspaces <sup>a</sup>0″ <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>1, where <sup>a</sup>0″# M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, <sup>b</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup> and

Convexity, Majorization and Time Optimal Control of Coupled Spin Dynamics

<sup>λ</sup>min .

<sup>c</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, where �B Xð Þ ;<sup>X</sup> # <sup>λ</sup>maxj j <sup>X</sup> <sup>2</sup>

DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.80567

ð Þ bk <sup>þ</sup> ck # <sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup>ð Þ bk�<sup>1</sup> <sup>þ</sup> ck�<sup>1</sup> # <sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup> � �<sup>k</sup>

j j a<sup>∞</sup> � a<sup>0</sup> <sup>0</sup> # ð Þ b<sup>0</sup> þ c<sup>0</sup> ∑

where <sup>C</sup> <sup>¼</sup> <sup>4</sup>MM b <sup>~</sup> ð Þ <sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> .

where a<sup>0</sup> ∈f and b<sup>0</sup> ∈f

<sup>2</sup>M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>Δ</sup><1, we obtain.

M′

181

, we have

we obtain

. Let <sup>M</sup> <sup>¼</sup> <sup>N</sup>λmax

�B Xð Þ ;<sup>X</sup> <sup>≥</sup>λminj j <sup>X</sup> <sup>2</sup>

Similarly,

to show Eq. (47). Writing

where <sup>K</sup>1″ and <sup>K</sup>2″ are constructed by a iterative procedure as described in the proof below.

Given X and Y as N � N matrices, considered elements of a matrix Lie algebra g, we have,

$$\log\left(e^{\mathbf{X}}e^{Y}\right) - \left(X + Y\right) = \sum\_{n>0} \frac{\left(-\mathbf{1}\right)^{n-1}}{n} \sum\_{1 \le i \le n} \frac{\left[X^{r\_1}Y^{s\_1}...X^{r\_n}Y^{s\_n}\right]}{\sum\_{i=1}^n (r\_i + s\_i)r\_1!s\_1!...r\_n!s\_n!},\tag{48}$$

where ri þ si>0.

We bound the largest element (absolute value) of log <sup>e</sup>XeY � � � ð Þ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> , denoted as log <sup>e</sup>XeY � � � ð Þ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> � � � � <sup>0</sup>, given j j <sup>X</sup> 0<<sup>Δ</sup> and j j <sup>Y</sup> 0<b0Δ<sup>k</sup>, where <sup>k</sup>≥1, <sup>Δ</sup><1, <sup>b</sup>0Δ<1.

$$\left| \log \left( e^X e^Y \right) - (X + Y) \right|\_0 \le \sum\_{n=1} N b\_0 e \Delta^{k+1} + \sum\_{n>1} \frac{1}{n} \frac{\left( 2 \text{Ne}^2 \right)^n b\_0 \Delta^{n+k-1}}{n} \tag{49}$$

$$\omega \le \text{Nb}\_0 \varepsilon \Delta^{k+1} + \left(\text{Ne}^2\right)^2 \text{b}\_0 \Delta^{k+1} \left(1 + 2\text{Ne}^2 \Delta + \dots \right) \tag{50}$$

$$\varepsilon \le Nb\_0 e \Delta^{k+1} + \frac{\left(Ne^2\right)^2 b\_0 \Delta^{k+1}}{1 - 2Ne^2 \Delta} \le \tilde{M}b\_0 \Delta^{k+1} \tag{51}$$

where 2NΔ<1 and M~ Δ<1.

Given decomposition of g ¼ p ⊕ k, p⊥k with respect to the negative definite killing form B Xð Þ¼ ; Y tr ad ð Þ XadY . Furthermore there is decomposition of <sup>p</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup> <sup>⊕</sup> <sup>a</sup><sup>⊥</sup>.

Given

$$U\_0 = \exp\left(a\_0\Delta + b\_0\Delta + c\_0\Delta\right),$$

where <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup>a, <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup> <sup>a</sup><sup>⊥</sup> and <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup>k, such that j j <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>0</sup> <sup>þ</sup> j j <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>0</sup> <sup>þ</sup> j j <sup>c</sup><sup>0</sup> 0<1, which we just abbreviate as a<sup>0</sup> þ b<sup>0</sup> þ c0<1 (we follow this convention below).

We describe an iterative procedure

$$U\_n = \Pi\_{k=1}^n \exp\left(-c\_k \Delta\right) \ U\_0 \ \Pi\_{k=0}^n \exp\left(-b\_k \Delta\right),\tag{52}$$

where ck ∈k and bk ∈ a<sup>⊥</sup>, such that the limit

$$n \to \infty \quad U\_n = \exp\left(a\_0 \Delta + C \Delta^2\right), \tag{53}$$

where a0, C∈a.

$$\begin{aligned} U\_1 &= \exp\left(-c\_0 \Delta\right) \exp\left(a\_0 \Delta + b\_0 \Delta + c\_0 \Delta\right) \exp\left(-b\_0 \Delta\right) \\ &= \exp\left(a\_0 \Delta + b\_0 \Delta + c\_0 \Delta^2\right) \exp\left(-b\_0 \Delta\right) \\ &= \exp\left(a\_0 \Delta + b\_0 \Delta^2 + c\_0 \Delta^2\right) \\ &= \exp\left((a\_1 + b\_1 + c\_1)\Delta\right) \end{aligned}$$

Note <sup>b</sup><sup>0</sup>′ and <sup>c</sup><sup>0</sup>′ are elements of <sup>g</sup> and need not be contained in <sup>a</sup><sup>⊥</sup> and <sup>k</sup>.

Convexity, Majorization and Time Optimal Control of Coupled Spin Dynamics DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.80567

Where, using bound in <sup>c</sup>0′ # Mc <sup>~</sup> 0, which gives <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′<sup>Δ</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0. Using the bound again, we obtain, <sup>b</sup>0′ # Mb <sup>~</sup> 0. We can decompose, ð Þ <sup>b</sup>0′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, into subspaces <sup>a</sup>0″ <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>1, where <sup>a</sup>0″# M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, <sup>b</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup> and <sup>c</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, where �B Xð Þ ;<sup>X</sup> # <sup>λ</sup>maxj j <sup>X</sup> <sup>2</sup> , where ∣X∣ is Frobenius norm and �B Xð Þ ;<sup>X</sup> <sup>≥</sup>λminj j <sup>X</sup> <sup>2</sup> . Let <sup>M</sup> <sup>¼</sup> <sup>N</sup>λmax <sup>λ</sup>min . This gives, <sup>a</sup>0″# M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>, <sup>b</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup> and <sup>c</sup><sup>1</sup> # M bð Þ <sup>0</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0′ <sup>Δ</sup>. This gives <sup>a</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> MM b <sup>~</sup> ð Þ <sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> # MM b <sup>~</sup> ð Þ <sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # MM b <sup>~</sup> ð Þ <sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup>

For 4MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup><1, we have, <sup>a</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0. Continuing and using ð Þ bk <sup>þ</sup> ck # <sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup>ð Þ bk�<sup>1</sup> <sup>þ</sup> ck�<sup>1</sup> # <sup>2</sup>MM<sup>~</sup> <sup>Δ</sup> � �<sup>k</sup> ð Þ b<sup>0</sup> þ c<sup>0</sup> . Similarly,

$$|a\_k - a\_{k-1}|\_0 \le \left(2\tilde{\mathbf{M}}\mathbf{M}\Delta\right)^k (b\_0 + c\_0)^k$$

Note, ð Þ ak; bk;ck is a Cauchy sequences which converges to ð Þ a∞; 0; 0 , where

$$|a\_{\infty} - a\_0|\_0 \le (b\_0 + c\_0) \sum\_{k=1}^{\infty} \left( 2\breve{M}M\Delta \right)^k \le \frac{2M\breve{M}\Delta(b\_0 + c\_0)}{1 - 2\breve{M}M\Delta} \le C\Delta,$$

where <sup>C</sup> <sup>¼</sup> <sup>4</sup>MM b <sup>~</sup> ð Þ <sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> .

The above exercise was illustrative. Now we use an iterative procedure as above to show Eq. (47).

Writing

exp ð Þ <sup>k</sup>1″ |fflfflfflffl{zfflfflfflffl} K1″

Applied Modern Control

proof below.

log e Xe

where ri þ si>0.

as log <sup>e</sup>XeY � � � ð Þ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> � � �

where 2NΔ<1 and M~ Δ<1.

We describe an iterative procedure

Un <sup>¼</sup> <sup>Π</sup><sup>n</sup>

where ck ∈k and bk ∈ a<sup>⊥</sup>, such that the limit

log e Xe <sup>Y</sup> � � � ð Þ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> � � �

<sup>p</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup> <sup>⊕</sup> <sup>a</sup><sup>⊥</sup>. Given

where a0, C∈a.

180

we have,

exp AdKð Þ Xd <sup>Δ</sup> � �

<sup>Y</sup> � � � ð Þ¼ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> <sup>∑</sup>

�

� <sup>0</sup> # ∑ n¼1
