Nb0eΔ<sup>k</sup>þ<sup>1</sup> <sup>þ</sup>

n>0

ð Þ �<sup>1</sup> <sup>n</sup>�<sup>1</sup> <sup>n</sup> <sup>∑</sup> 1 # i # n

exp Ak2″A�<sup>1</sup> � � |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} K2″

where <sup>K</sup>1″ and <sup>K</sup>2″ are constructed by a iterative procedure as described in the

Given X and Y as N � N matrices, considered elements of a matrix Lie algebra g,

We bound the largest element (absolute value) of log <sup>e</sup>XeY � � � ð Þ <sup>X</sup> <sup>þ</sup> <sup>Y</sup> , denoted

Nb0eΔ<sup>k</sup>þ<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>∑</sup>

Ne<sup>2</sup> � �<sup>2</sup>

<sup>1</sup> � <sup>2</sup>Ne<sup>2</sup>

Given decomposition of g ¼ p ⊕ k, p⊥k with respect to the negative definite

U<sup>0</sup> ¼ exp ð Þ a0Δ þ b0Δ þ c0Δ ,

where <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup>a, <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup> <sup>a</sup><sup>⊥</sup> and <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>∈</sup>k, such that j j <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>0</sup> <sup>þ</sup> j j <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>0</sup> <sup>þ</sup> j j <sup>c</sup><sup>0</sup> 0<1, which we just

U<sup>1</sup> ¼ exp ð Þ �c0Δ exp ð Þ a0Δ þ b0Δ þ c0Δ exp ð Þ �b0Δ

<sup>¼</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> � � exp ð Þ �b0<sup>Δ</sup>

Note <sup>b</sup><sup>0</sup>′ and <sup>c</sup><sup>0</sup>′ are elements of <sup>g</sup> and need not be contained in <sup>a</sup><sup>⊥</sup> and <sup>k</sup>.

<sup>¼</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup>′Δ<sup>2</sup> � �

¼ exp ð Þ ð Þ a<sup>1</sup> þ b<sup>1</sup> þ c<sup>1</sup> Δ

killing form B Xð Þ¼ ; Y tr ad ð Þ XadY . Furthermore there is decomposition of

<sup>k</sup>¼<sup>1</sup> exp ð Þ �ck<sup>Δ</sup> <sup>U</sup><sup>0</sup> <sup>Π</sup><sup>n</sup>

abbreviate as a<sup>0</sup> þ b<sup>0</sup> þ c0<1 (we follow this convention below).

∑ n i¼1

<sup>0</sup>, given j j <sup>X</sup> 0<<sup>Δ</sup> and j j <sup>Y</sup> 0<b0Δ<sup>k</sup>, where <sup>k</sup>≥1, <sup>Δ</sup><1, <sup>b</sup>0Δ<1.

2Ne<sup>2</sup> � �<sup>n</sup>

b0Δ<sup>n</sup>þk�<sup>1</sup>

<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> … � � (50)
