Mb ~ <sup>0</sup>Δ<sup>k</sup>þ<sup>1</sup> (51)

<sup>k</sup>¼<sup>0</sup> exp ð Þ �bkΔ , (52)

<sup>n</sup> ! <sup>∞</sup> Un <sup>¼</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>C</sup>Δ<sup>2</sup> � �, (53)

n

n>1 1 n

<sup>b</sup>0Δ<sup>k</sup>þ<sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>2</sup>Ne<sup>2</sup>

b0Δ<sup>k</sup>þ<sup>1</sup>

Δ

<sup>¼</sup> exp <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>C</sup>Δ<sup>2</sup> � �, (47)

, (48)

(49)

<sup>X</sup>r1Ys1…XrnYsn ½ �

ð Þ ri þ si r1!s1!…rn!sn!

$$Ad\_{\overline{K}}(X\_d) = \underbrace{P\Big(Ad\_{\overline{K}}(X\_d)\Big)}\_{a\_0} + \underbrace{Ad\_{\overline{K}}(X\_d)^\perp}\_{b\_0}.$$

where a<sup>0</sup> ∈f and b<sup>0</sup> ∈f <sup>⊥</sup>, consider again the iterations

$$\begin{aligned} U\_0 &= \exp\left(-\overline{c}\_0 \Delta\right) \exp\left(a\_0 \Delta + b\_0 \Delta\right) \exp\left(-b\_0 \Delta + \overline{c}\_0 \Delta\right) \\ &= \exp\left(-\overline{c}\_0 \Delta\right) \exp\left(a\_0 \Delta + \overline{c}\_0 \Delta + b\_0 \Delta^2\right) \\ &= \exp\left(a\_0 \Delta + b\_0 \Delta^2 + c\_0 \Delta^2\right) \\ &= \exp\left(a\_1 \Delta + b\_1 \Delta + c\_1 \Delta\right) \end{aligned}$$

We refer to Remark 5, Eq. (45). Given b0Δ ∈p such that b0Δ ∈f <sup>⊥</sup>. If Ak′A′ ¼ �b0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0Δ, then <sup>∥</sup>k′<sup>∥</sup> # <sup>h</sup>∥b0Δ<sup>∥</sup> (killing norm).

c<sup>0</sup> ∈k, is bounded c<sup>0</sup> # Mhb0, where M as before converts between two different norms. Using bounds derived above <sup>b</sup><sup>0</sup>′ # M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>b</sup>0, and <sup>c</sup><sup>0</sup>′ # MMhb <sup>~</sup> 0, <sup>2</sup>M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>Δ</sup><1, we obtain.

which gives <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup>′<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> Mh<sup>Þ</sup> # <sup>1</sup> � . For appropriate M′ , we have

$$\begin{aligned} a\_1 &\le a\_0 + \frac{M'}{3} (b\_0 + c\_0) \Delta \\ b\_1 &\le \frac{M'}{3} (b\_0 + c\_0) \Delta \\ c\_1 &\le \frac{M'}{3} (b\_0 + c\_0) \Delta \end{aligned}$$

we obtain

$$a\_1 + b\_1 + c\_1 \cong a\_0 + M'(b\_0 + c\_0) \Delta \cong a\_0 + b\_0 + c\_0 \Delta$$

This follows because the orthogonal part of AdKð Þ Xd to <sup>f</sup> written as AdKð Þ Xd

<sup>⊥</sup>; <sup>H</sup>aH�<sup>1</sup> D E <sup>¼</sup> AdKð Þ Xd

<sup>⊥</sup>; <sup>a</sup>0′ D E <sup>¼</sup> <sup>0</sup>

K4, where

<sup>2</sup> ¼ b1, i.e.,

<sup>1</sup> ∈a, using H1, H<sup>2</sup> as

<sup>i</sup> Δ<sup>þ</sup> i � �Pi,

ckð Þ Yk cosð Þþ λ<sup>k</sup> Xk sin ð Þ λ<sup>k</sup> :

¼ Ka exp ð Þ a þ a1Δ þ Wð Þ b<sup>1</sup> Δ Kb:

2, we have Pi,iþ<sup>1</sup> ¼ exp H<sup>þ</sup>

ð Þ Xd . From above we can

b :

Δ<sup>2</sup> � �Kb:


K<sup>2</sup> ¼ K<sup>3</sup> exp ð Þ b � b1Δ

remains orthogonal of f

H�<sup>1</sup>

P H�<sup>1</sup> <sup>1</sup> a0H<sup>1</sup> � � <sup>¼</sup> P H�<sup>1</sup>

AdKð Þ Xd

DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.80567

<sup>⊥</sup>H; a D E <sup>¼</sup> AdKð Þ Xd

(a″ <sup>∈</sup>f), remains orthogonal to <sup>a</sup>. Therefore

Lemma 1 Given P ¼ K<sup>1</sup> exp ð Þ a þ a1Δ

a, b, a1, b<sup>1</sup> ∈ a. We can express

Proof. Note, <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>K</sup>�<sup>1</sup>

Applying the theorem again to

Lemma 2 Given Pi <sup>¼</sup> <sup>K</sup><sup>i</sup>

and Pi,iþ<sup>1</sup> ¼ exp �H�

Recall, from Remark 5,

before,

express

183

<sup>1</sup> AdKð Þ Xd <sup>H</sup><sup>1</sup>

where Wð Þ b<sup>1</sup> is Weyl element of b1. Furthermore

<sup>3</sup> PK�<sup>1</sup>

exp ð Þ a þ a1Δ AdKð Þ b<sup>1</sup> exp ð Þ¼ �ð Þ a þ a1Δ ∑

� � <sup>¼</sup> <sup>∑</sup>kαkWkð Þ Xd .

Convexity, Majorization and Time Optimal Control of Coupled Spin Dynamics


<sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>K</sup><sup>~</sup> exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>K</sup> commutes with <sup>b</sup>1. This implies <sup>A</sup>2b1A�<sup>1</sup>

This implies ∑kck sin ð Þ λ<sup>k</sup> Xk ¼ 0, implying λ<sup>k</sup> ¼ nπ. Therefore,

We have shown existence of <sup>H</sup><sup>1</sup> such that <sup>H</sup>1AdKð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>H</sup>�<sup>1</sup>

1Ai Ki <sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>K</sup><sup>i</sup>

<sup>i</sup>þ<sup>1</sup>Δ� iþ1 � �Piþ1, where <sup>H</sup><sup>þ</sup>

Pi,iþ<sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>K</sup><sup>i</sup><sup>þ</sup>

exp ð Þ AdKð Þ Xd Δ K1AK<sup>2</sup> ¼ Ka exp a þ a0′Δ þ C′

exp ð Þ¼ b Ka exp ð Þ a þ a1Δ þ Wð Þ b<sup>1</sup> Δ Kb,

exp ð Þ¼ b þ b2Δ Ka′′ exp ð Þ a þ a1Δ þ Wð Þ b<sup>1</sup> Δ þ Wð Þ b<sup>2</sup> Δ Kb′′ :

<sup>K</sup><sup>~</sup> exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> AdKð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> exp ð Þ �ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>K</sup><sup>~</sup> <sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>1, which implies that AdKð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>∈</sup>f.

exp 2ð Þ ð Þ a þ a1Δ AdKð Þ b<sup>1</sup> exp ð�2ð Þ a þ a1Δ Þ ¼ AdKð Þ b<sup>1</sup> :

<sup>K</sup><sup>~</sup> exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>K</sup> exp ð Þ¼ <sup>b</sup>1<sup>Δ</sup> KH<sup>~</sup> <sup>2</sup> exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup> exp ð Þ AdKð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>Δ</sup> <sup>K</sup>

Ka exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>W</sup>ð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>Δ</sup> Kb exp ð Þ¼ <sup>b</sup>2<sup>Δ</sup> Ka″ exp ð Þ <sup>a</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup>1<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>W</sup>ð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>W</sup>ð Þ <sup>b</sup><sup>2</sup> <sup>Δ</sup> Kb″:

<sup>a</sup> exp <sup>a</sup><sup>i</sup> <sup>þ</sup> <sup>a</sup><sup>i</sup><sup>þ</sup>

<sup>1</sup> exp ai � �K<sup>i</sup>

<sup>1</sup> Δ<sup>i</sup>

<sup>i</sup> ¼ AdKi

<sup>þ</sup> <sup>þ</sup> ai<sup>þ</sup> <sup>2</sup> Δ<sup>i</sup> þ

� �<sup>2</sup> � �K<sup>i</sup><sup>þ</sup>

<sup>4</sup> , commutes with b1. This implies

k

⊥

where Δ is chosen small.

$$\begin{aligned} U\_1 &= \exp\left(-(c\_1 + \overline{c}\_1)\Delta\right) \exp\left(a\_1\Delta + b\_1\Delta + c\_1\Delta\right) \exp\left(-b\_1\Delta + \overline{c}\_1\Delta\right) \\\\ &= \exp\left(-(c\_1 + \overline{c}\_1)\Delta\right) \exp\left(a\_1\Delta + (c\_1 + \overline{c}\_1)\Delta + b\_1^\circ\Delta^2\right) \\\\ &= \exp\left(a\_1\Delta + b\_1^\circ\Delta^2 + c\_1^\circ\Delta^2\right) \\\\ &= \exp\left(a\_2\Delta + b\_2\Delta + c\_2\Delta\right) \end{aligned}$$

where c<sup>1</sup> ∈ k, such that c<sup>1</sup> # Mhb1.

where, using bounds derived above <sup>b</sup><sup>1</sup>′ # M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>b</sup>1, and <sup>c</sup><sup>1</sup>′ # M Mhb <sup>~</sup> ð Þ <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> , where using the bound 2M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>Δ</sup><1, we obtain

which gives <sup>a</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup>′<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> ð Þ <sup>c</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> ð Þ ð Þ <sup>1</sup> <sup>þ</sup> Mh <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup>0.

We can decompose, ð Þ <sup>b</sup><sup>1</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup>′ <sup>Δ</sup><sup>2</sup> , into subspaces a′ <sup>1</sup>′ þ b<sup>2</sup> þ c<sup>2</sup> <sup>Δ</sup>, where

<sup>a</sup><sup>1</sup>″# M bð Þ <sup>1</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup>′ <sup>Δ</sup>, <sup>b</sup><sup>2</sup> # M bð Þ <sup>1</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup>′ <sup>Δ</sup> and <sup>c</sup><sup>2</sup> # M bð Þ <sup>1</sup>′ <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup>′ <sup>Δ</sup>, where <sup>M</sup> as before converts between two different norms.

This gives

$$a\_2 \preceq a\_1 + 4\tilde{M}M^2h(b\_1 + c\_1)\Delta \, b\_2 \preceq 4\tilde{M}M^2h(b\_1 + c\_1)\Delta \, c\_2 \preceq 4\tilde{M}M^2h(b\_1 + c\_1)\Delta$$

For <sup>x</sup> <sup>¼</sup> <sup>8</sup>MM<sup>~</sup> <sup>2</sup> hΔ< <sup>2</sup> 3 , we have, a<sup>2</sup> þ b<sup>2</sup> þ c<sup>2</sup> # a<sup>1</sup> þ ð Þ b<sup>1</sup> þ c<sup>1</sup> # a<sup>0</sup> þ b<sup>0</sup> þ c0, Using ð Þ bk <sup>þ</sup> ck # x bð Þ <sup>k</sup>�<sup>1</sup> <sup>þ</sup> ck�<sup>1</sup> # <sup>x</sup><sup>k</sup>ð Þ <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> . Similarly,

$$|a\_k - a\_{k-1}|\_0 \le \mathbf{x}^k (b\_0 + c\_0)$$

Note, ð Þ ak; bk;ck is a Cauchy sequences which converges to ð Þ a∞; 0; 0 , where

$$|a\_{\infty} - a\_0|\_0 \le \varkappa (b\_0 + c\_0) \sum\_{k=0}^{\infty} \varkappa^k \le \frac{\varkappa (b\_0 + c\_0)}{1 - \varkappa} \le C \Delta,$$

where <sup>C</sup> <sup>¼</sup> <sup>16</sup>MM<sup>~</sup> <sup>2</sup> h bð Þ <sup>0</sup> þ c<sup>0</sup> .

The above iterative procedure generates <sup>k</sup><sup>1</sup>′ and <sup>k</sup><sup>2</sup>″ in Eq. (47), such that

$$\exp\left( (K\_1^\prime A d\_K(X\_d) K\_1) \Delta \right) = \exp\left( -k\_1^\prime \right) \exp\left( a\_0 \Delta + C \Delta^2 \right) \exp\left( -A k\_2^\prime A^\prime \right).$$

where <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>C</sup>Δ<sup>2</sup> <sup>∈</sup> <sup>f</sup>. By using a stabilizer <sup>H</sup>1, H2, we can rotate them to <sup>a</sup> such that

$$\exp\left(Ad\_K(X\_d)\Delta\right)K\_1AK\_2 = K\_dH\_1\exp\left(a\_0^\prime \Delta + C^\prime \Delta^2\right)AH\_2K\_b$$

such that H�<sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>a</sup>0<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>C</sup>Δ<sup>2</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup><sup>0</sup>′<sup>Δ</sup> <sup>þ</sup> <sup>C</sup>′Δ<sup>2</sup> is in <sup>a</sup> and <sup>a</sup><sup>0</sup>′ <sup>¼</sup> P H�<sup>1</sup> <sup>1</sup> a0H<sup>1</sup> is projection onto a such that

$$P\left(H\_1^{-1}a\_0H\_1\right) = \sum\_k a\_k \mathcal{W}\_k(X\_d).$$

Convexity, Majorization and Time Optimal Control of Coupled Spin Dynamics DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.80567

This follows because the orthogonal part of AdKð Þ Xd to <sup>f</sup> written as AdKð Þ Xd ⊥ remains orthogonal of f

$$\left\langle H^{-1} \mathrm{Ad}\_{K}(\mathbf{X}\_{d})^{\perp} H, \mathfrak{a} \right\rangle = \left\langle \mathrm{Ad}\_{K}(\mathbf{X}\_{d})^{\perp}, \mathrm{H}\mathfrak{a} H^{-1} \right\rangle = \left\langle \mathrm{Ad}\_{K}(\mathbf{X}\_{d})^{\perp}, \mathfrak{a}' \right\rangle = \mathbf{0}$$

(a″ <sup>∈</sup>f), remains orthogonal to <sup>a</sup>. Therefore P H�<sup>1</sup> <sup>1</sup> a0H<sup>1</sup> � � <sup>¼</sup> P H�<sup>1</sup> <sup>1</sup> AdKð Þ Xd <sup>H</sup><sup>1</sup> � � <sup>¼</sup> <sup>∑</sup>kαkWkð Þ Xd .

$$\exp\left(A d\_K(\mathcal{X}\_d) \Delta\right) \mathcal{K}\_1 A \mathcal{K}\_2 = \mathcal{K}\_a \exp\left(a + a\_0 \Delta + \mathcal{C}^{'} \Delta^2\right) \mathcal{K}\_b \dots$$

Lemma 1 Given P ¼ K<sup>1</sup> exp ð Þ a þ a1Δ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} A1 K<sup>2</sup> ¼ K<sup>3</sup> exp ð Þ b � b1Δ |fflfflfflfflfflfflfflfflfflffl{zfflfflfflfflfflfflfflfflfflffl} A2 K4, where

a, b, a1, b<sup>1</sup> ∈ a. We can express

<sup>a</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>M</sup>′ð Þ <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup> <sup>Δ</sup> # <sup>a</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>b</sup><sup>0</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>0</sup>

U<sup>1</sup> ¼ exp ð Þ �ð Þ c<sup>1</sup> þ c<sup>1</sup> Δ exp ð Þ a1Δ þ b1Δ þ c1Δ exp ð Þ �b1Δ þ c1Δ

where, using bounds derived above <sup>b</sup><sup>1</sup>′ # M Mh <sup>~</sup> ð Þ <sup>þ</sup> <sup>1</sup> <sup>b</sup>1, and <sup>c</sup><sup>1</sup>′ # M Mhb <sup>~</sup> ð Þ <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> ,

, into subspaces a′

<sup>1</sup>′ þ b<sup>2</sup> þ c<sup>2</sup> 

h bð Þ <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>c</sup><sup>1</sup> <sup>Δ</sup> <sup>c</sup><sup>2</sup> # <sup>4</sup>MM<sup>~</sup> <sup>2</sup>

, we have, a<sup>2</sup> þ b<sup>2</sup> þ c<sup>2</sup> # a<sup>1</sup> þ ð Þ b<sup>1</sup> þ c<sup>1</sup> # a<sup>0</sup> þ b<sup>0</sup> þ c0,

ð Þ b<sup>0</sup> þ c<sup>0</sup>

x bð Þ <sup>0</sup> þ c<sup>0</sup> 1 � x
