3. Determinantal representations of a partial solution to the system (1)

Lemma 3.1. [7] Let A<sup>1</sup> ∈ H<sup>m</sup>�<sup>n</sup>, B<sup>1</sup> ∈ H<sup>r</sup>�<sup>s</sup> , C<sup>1</sup> ∈ H<sup>m</sup>�<sup>s</sup> , A<sup>2</sup> ∈ H<sup>k</sup>�<sup>n</sup>, B<sup>2</sup> ∈ H<sup>r</sup>�<sup>p</sup> , and C<sup>2</sup> ∈ H<sup>k</sup>�<sup>p</sup> be given and <sup>X</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>r</sup> is to be determined. Put <sup>H</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> , <sup>N</sup> <sup>¼</sup> <sup>R</sup><sup>B</sup>1B2, <sup>T</sup> <sup>¼</sup> <sup>R</sup>HA2, and <sup>F</sup> <sup>¼</sup> <sup>B</sup>2LN. Then, the system (1) is consistent if and only if

$$\mathbf{A}\_i \mathbf{A}\_i^\dagger \mathbf{C}\_i \mathbf{B}\_i^\dagger \mathbf{B}\_i = \mathbf{C}\_i \quad i = 1, 2; \tag{6}$$

$$\mathbf{T}\left[\mathbf{A}\_{2}^{\dagger}\mathbf{X}\mathbf{B}\_{2}^{\dagger} - \mathbf{A}\_{1}^{\dagger}\mathbf{C}\_{1}\mathbf{B}\_{1}^{\dagger}\right]\mathbf{F} = \mathbf{0}.\tag{7}$$

In that case, the general solution of (1) can be expressed as the following,

$$\begin{aligned} \mathbf{X} &= \begin{aligned} \mathbf{A}\_{1}^{\dagger} \mathbf{C}\_{1} \mathbf{B}\_{1}^{\dagger} + \mathbf{L}\_{A\_{1}} \mathbf{H}^{\dagger} \mathbf{A}\_{2} \mathbf{L}\_{\top} \Big( \mathbf{A}\_{2}^{\dagger} \mathbf{C}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\dagger} - \mathbf{A}\_{1}^{\dagger} \mathbf{C}\_{1} \mathbf{B}\_{1}^{\dagger} \Big) \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\dagger} + \mathbf{T}^{\dagger} \mathbf{T} \Big( \mathbf{A}\_{2}^{\dagger} \mathbf{C}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\dagger} - \mathbf{A}\_{1}^{\dagger} \mathbf{C}\_{1} \mathbf{B}\_{1}^{\dagger} \Big) \mathbf{B}\_{2} \mathbf{N}^{\dagger} \mathbf{R}\_{B\_{1}} \\ &+ \mathbf{L}\_{A\_{1}} \Big( \mathbf{Z} - \mathbf{H}^{\dagger} \mathbf{H} \mathbf{Z} \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\dagger} \Big) - \mathbf{L}\_{A\_{1}} \mathbf{H}^{\dagger} \mathbf{A}\_{2} \mathbf{L}\_{\top} \mathbf{W} \mathbf{N} \mathbf{B}\_{2}^{\dagger} + \Big( \mathbf{W} - \mathbf{T}^{\dagger} \mathbf{T} \mathbf{W} \mathbf{N} \mathbf{N}^{\dagger} \Big) \times \mathbf{R}\_{\mathbb{S}\_{1}}, \end{aligned} \tag{8}$$

where Z and W are the arbitrary matrices over H with compatible dimensions.

Some simplification of (8) can be derived due to the quaternionic analog of the following proposition.

Lemma 3.2. [32] If A ∈ H<sup>n</sup>�<sup>n</sup> is Hermitian and idempotent, then the following equation holds for any matrix B∈ H<sup>m</sup>�<sup>n</sup>,

$$\mathbf{A(BA)}^{\dagger} = \left(\mathbf{BA}\right)^{\dagger}.\tag{9}$$

(i) By Theorem 2.3 for the first term, x<sup>01</sup>

d<sup>B</sup><sup>1</sup>

d<sup>A</sup><sup>1</sup>

1C1B<sup>∗</sup> 1. (ii) Similarly, for the second term of (13), we have

d<sup>B</sup><sup>2</sup>

dH

:<sup>j</sup> <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

<sup>i</sup>: <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

2 4

2 4

column of <sup>C</sup><sup>~</sup> <sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

:<sup>j</sup> <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

<sup>i</sup>: <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

2 4

2 4

or

where

or

where

x<sup>01</sup> ij ¼

x<sup>01</sup> ij ¼

α∈ Ir2,pf gj

β∈Jr1,nf gi

are the column vector and the row vector, respectively. ~c

x<sup>02</sup> ij ¼

x<sup>02</sup> ij ¼

α∈Ir4,rf gj

β∈ Jr5,nf gi

P

P

P

P

rdet<sup>j</sup> B2B<sup>∗</sup>

P

P

P

P

ij , of (13), we have

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � �

1 � �

α

β

3

ð Þ1 <sup>q</sup>: and ~c

3

:<sup>i</sup> <sup>d</sup><sup>B</sup><sup>1</sup> :j � � � � <sup>β</sup>

Cramer's Rules for the System of Two-Sided Matrix Equations and of Its Special Cases

<sup>α</sup><sup>∈</sup> Ir2,p <sup>B</sup>1B<sup>∗</sup>

� � � � α α

<sup>j</sup>: <sup>d</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> i: � � � � <sup>α</sup>

<sup>α</sup>∈Ir2, <sup>q</sup> <sup>B</sup>1B<sup>∗</sup>

� � � � α α

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>1</sup>

<sup>5</sup> <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup>�<sup>r</sup>

:j � � � � <sup>β</sup>

<sup>α</sup> <sup>∈</sup>Ir4,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

2 � �

α

β

3

3

� � � � α α

<sup>j</sup>: <sup>d</sup><sup>H</sup> i: � � � �<sup>α</sup>

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>1</sup>

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup>�<sup>r</sup>

<sup>α</sup> <sup>∈</sup>Ir4,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

� � � � α α

β

α

, q ¼ 1, …, n,

, l ¼ 1,…, r,

2

2

β

α

, q ¼ 1, …, n,

, l ¼ 1, …, r,

ð Þ1

1

, (14)

9

http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.74105

, (15)

:<sup>l</sup> are the qth row and the lth

, (16)

, (17)

1

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr1,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � � � � β β P

<sup>α</sup><sup>∈</sup> Ir2, <sup>q</sup>f g<sup>j</sup> rdet<sup>j</sup> <sup>B</sup>1B<sup>∗</sup>

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � � � � β β P

1 � �

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � �

<sup>j</sup>: <sup>~</sup>cð Þ<sup>1</sup> q: � � � � <sup>α</sup>

:<sup>i</sup> ~c ð Þ1 :l � � � � <sup>β</sup>

<sup>β</sup>∈Jr5,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>H</sup> :<sup>i</sup> <sup>d</sup><sup>B</sup><sup>2</sup>

β P

β P

<sup>j</sup>: <sup>~</sup>cð Þ<sup>2</sup> q: � � � � <sup>α</sup>

ð Þ2 :l � � � � <sup>β</sup>

<sup>α</sup>∈Ir4,rf g<sup>j</sup> rdet<sup>j</sup> <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

<sup>β</sup>∈Jr5,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

<sup>β</sup>∈Jr5,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

2 � �

cdet<sup>i</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>H</sup> :<sup>i</sup> <sup>~</sup><sup>c</sup>

<sup>β</sup>∈Jr1,n <sup>A</sup><sup>∗</sup>

<sup>β</sup>∈Jr1, <sup>p</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

rdet<sup>j</sup> B1B<sup>∗</sup>

cdet<sup>i</sup> A<sup>∗</sup>

It is evident that if A ∈ H<sup>n</sup>�<sup>n</sup> is Hermitian and idempotent, then the following equation is true as well,

$$(\mathbf{A}\mathbf{B})^\dagger \mathbf{A} = \left(\mathbf{A}\mathbf{B}\right)^\dagger. \tag{10}$$

Since L<sup>A</sup><sup>1</sup> , R<sup>B</sup><sup>1</sup> , and R<sup>H</sup> are projectors, then using (9) and (10), we have, respectively,

$$\begin{aligned} \mathbf{L}\_{A\_1} \mathbf{H}^\dagger &= \mathbf{L}\_{A\_1} (\mathbf{A}\_2 \mathbf{L}\_{A\_1})^\dagger = (\mathbf{A}\_2 \mathbf{L}\_{A\_1})^\dagger = \mathbf{H}^\dagger, \\ \mathbf{N}^\dagger \mathbf{R}\_{B\_1} &= (\mathbf{R}\_{B\_1} \mathbf{B}\_2)^\dagger \mathbf{R}\_{B\_1} = (\mathbf{R}\_{B\_1} \mathbf{B}\_2)^\dagger = \mathbf{N}^\dagger, \\ \mathbf{T}^\dagger \mathbf{T} &= (\mathbf{R}\_H \mathbf{A}\_2)^\dagger \mathbf{R}\_H \mathbf{A}\_2 = (\mathbf{R}\_H \mathbf{A}\_2)^\dagger \mathbf{A}\_2 = \mathbf{T}^\dagger \mathbf{A}\_2, \\ \mathbf{L}\_T &= \mathbf{I} - \mathbf{T}^\dagger \mathbf{T} = \mathbf{I} - \mathbf{T}^\dagger \mathbf{A}\_2. \end{aligned} \tag{11}$$

Using (11) and (6), we obtain the following expression of (8),

<sup>X</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>† 1C1B† <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>† <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>I</sup> � <sup>T</sup>† A<sup>2</sup> A† 2C2B† <sup>2</sup> � <sup>A</sup>† 1C1B† 1 B2B† 2 <sup>þ</sup>T† A<sup>2</sup> A† 2C2B† <sup>2</sup> � <sup>A</sup>† 1C1B† 1 <sup>B</sup>2N† <sup>þ</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>Z</sup> � <sup>H</sup>† HZB2B† 2 � <sup>H</sup>† A2LTWNB† 2 <sup>þ</sup> <sup>W</sup> � <sup>T</sup>† TWNN† <sup>R</sup><sup>B</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>† 1C1B† <sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>† C2B† <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>† <sup>A</sup>2T† � <sup>I</sup> <sup>A</sup>2A† 1C1B† <sup>1</sup>Q<sup>B</sup><sup>2</sup> �H† A2T† C2B† <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>T</sup>† <sup>C</sup>2N† � <sup>T</sup>† A2A† 1C1B† <sup>1</sup>B2N† <sup>þ</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>Z</sup> � <sup>H</sup>† HZB2B† 2 �H† A2LTWNB† <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>W</sup> � <sup>T</sup>† TWNN† R<sup>B</sup><sup>1</sup> : (12)

By putting Z<sup>1</sup> ¼ W<sup>1</sup> ¼ 0 in (12), the partial solution of (8) can be derived,

$$\begin{aligned} \mathbf{X}\_{0} &= \mathbf{A}\_{1}^{\dagger}\mathbf{C}\_{1}\mathbf{B}\_{1}^{\dagger} + \mathbf{H}^{\dagger}\mathbf{C}\_{2}\mathbf{B}\_{2}^{\dagger} + \mathbf{T}^{\dagger}\mathbf{C}\_{2}\mathbf{N}^{\dagger} + \mathbf{H}^{\dagger}\mathbf{A}\_{2}\mathbf{T}^{\dagger}\mathbf{A}\_{2}\mathbf{A}\_{1}^{\dagger}\mathbf{C}\_{1}\mathbf{B}\_{1}^{\dagger}\mathbf{Q}\_{\beta\_{2}} \\ &- \mathbf{H}^{\dagger}\mathbf{A}\_{2}\mathbf{A}\_{1}^{\dagger}\mathbf{C}\_{1}\mathbf{B}\_{1}^{\dagger}\mathbf{Q}\_{\beta\_{2}} - \mathbf{H}^{\dagger}\mathbf{A}\_{2}\mathbf{T}^{\dagger}\mathbf{C}\_{2}\mathbf{B}\_{2}^{\dagger} - \mathbf{T}^{\dagger}\mathbf{A}\_{2}\mathbf{A}\_{1}^{\dagger}\mathbf{C}\_{1}\mathbf{B}\_{1}^{\dagger}\mathbf{B}\_{2}\mathbf{N}^{\dagger}. \end{aligned} \tag{13}$$

Further we give determinantal representations of (13). Let A<sup>1</sup> ¼ a ð Þ1 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>1</sup> , <sup>B</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup> ð Þ1 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>s</sup> <sup>r</sup><sup>2</sup> , <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup> ð Þ2 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>3</sup> , <sup>B</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup> ð Þ2 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>p</sup> <sup>r</sup><sup>4</sup> , <sup>C</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>c</sup> ð Þ1 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>s</sup> , and C<sup>2</sup> ¼ c ð Þ2 ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>p</sup> , and there exist A† <sup>1</sup> ¼ a ð Þ1 ,† ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>m</sup>, <sup>B</sup>† <sup>2</sup> ¼ b ð Þ2 ,† ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>p</sup>�<sup>r</sup> , <sup>H</sup>† <sup>¼</sup> <sup>h</sup>† ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>k</sup> , <sup>N</sup>† <sup>¼</sup> <sup>n</sup>† ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>p</sup>�<sup>r</sup> , and <sup>T</sup>† <sup>¼</sup> <sup>t</sup> † ij <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>k</sup> . Let rank H ¼ min rank A2;rank L<sup>A</sup><sup>1</sup> f g ¼ r5, rank N ¼ min rank f B2; rank R<sup>B</sup><sup>1</sup> g ¼ r6, and rank T ¼ min rank f g A2;rank R<sup>H</sup> ¼ r7. Consider each term of (13) separately.

Cramer's Rules for the System of Two-Sided Matrix Equations and of Its Special Cases http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.74105 9

(i) By Theorem 2.3 for the first term, x<sup>01</sup> ij , of (13), we have

$$\mathbf{x}\_{ij}^{01} = \frac{\sum\_{\beta \in I\_{r\_1, n} \{i\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_i \Big( \left( \mathbf{A}\_1^\* \mathbf{A}\_1 \right)\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \mathbf{d}\_{\cdot, j}^{\mathcal{B}\_1} \Big) \Big)\_{\beta}^{\beta}}{\sum\_{\beta \in I\_{r\_1, n}} \left| \mathbf{A}\_1^\* \mathbf{A}\_1 \right|\_{\beta}^{\beta} \sum\_{\alpha \in I\_{2, r}} \left| \mathbf{B}\_1 \mathbf{B}\_1^\* \right|\_{\alpha}^{\alpha}} \,\tag{14}$$

or

Some simplification of (8) can be derived due to the quaternionic analog of the following

Lemma 3.2. [32] If A ∈ H<sup>n</sup>�<sup>n</sup> is Hermitian and idempotent, then the following equation holds for any

A BA ð Þ† <sup>¼</sup> ð Þ BA †

It is evident that if A ∈ H<sup>n</sup>�<sup>n</sup> is Hermitian and idempotent, then the following equation is true

<sup>A</sup> <sup>¼</sup> ð Þ AB †

R<sup>B</sup><sup>1</sup> ¼ ð Þ R<sup>B</sup>1B<sup>2</sup>

<sup>2</sup> � <sup>A</sup>†

<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

B2B†

RHA<sup>2</sup> ¼ ð Þ RHA<sup>2</sup>

A2:

1C1B† 1

C2B†

<sup>C</sup>2N† <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

C2B† <sup>2</sup> � <sup>T</sup>†

A2T†

<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>p</sup> <sup>r</sup><sup>4</sup> , <sup>C</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>c</sup>

∈ H<sup>p</sup>�<sup>r</sup>

ð Þ2 ,† ij 

rank R<sup>B</sup><sup>1</sup> g ¼ r6, and rank T ¼ min rank f g A2;rank R<sup>H</sup> ¼ r7. Consider each term of (13) sepa-

ð Þ AB †

Since L<sup>A</sup><sup>1</sup> , R<sup>B</sup><sup>1</sup> , and R<sup>H</sup> are projectors, then using (9) and (10), we have, respectively,

†

†

N†

T†

R<sup>B</sup><sup>1</sup> ¼ ð Þ R<sup>B</sup>1B<sup>2</sup>

<sup>L</sup><sup>T</sup> <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>T</sup>†

Using (11) and (6), we obtain the following expression of (8),

<sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>I</sup> � <sup>T</sup>†

<sup>2</sup> � <sup>A</sup>†

TWNN† <sup>R</sup><sup>B</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

1C1B†

� <sup>H</sup>†

ð Þ1 ,† ij  T ¼ ð Þ RHA<sup>2</sup>

A<sup>2</sup> A†

<sup>C</sup>2N† � <sup>T</sup>†

By putting Z<sup>1</sup> ¼ W<sup>1</sup> ¼ 0 in (12), the partial solution of (8) can be derived,

C2B† <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>T</sup>†

Further we give determinantal representations of (13). Let A<sup>1</sup> ¼ a

∈ H<sup>n</sup>�<sup>m</sup>, B†

ð Þ2 ij 

1C1B† 1 <sup>B</sup>2N† <sup>þ</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>Z</sup> � <sup>H</sup>†

<sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>W</sup> � <sup>T</sup>†

<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

A2A† 1C1B†

<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>3</sup> , <sup>B</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>

<sup>L</sup><sup>A</sup>1H† <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>H</sup>†

<sup>T</sup> <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>T</sup>†

2C2B†

A2A† 1C1B†

1C1B†

TWNN† R<sup>B</sup><sup>1</sup> :

<sup>1</sup>Q<sup>B</sup><sup>2</sup> � <sup>H</sup>†

<sup>2</sup> ¼ b

: (9)

: (10)

A2LTWNB†

HZB2B† 2

1B2N† :

, and C<sup>2</sup> ¼ c

ð Þ1 ij 

∈ H<sup>n</sup>�<sup>k</sup>

1C1B† <sup>1</sup>Q<sup>B</sup><sup>2</sup>

2

<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>1</sup> , <sup>B</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>

, <sup>N</sup>† <sup>¼</sup> <sup>n</sup>†

ð Þ2 ij 

> ij

(11)

(12)

(13)

ð Þ1 ij 

∈ H<sup>k</sup>�<sup>p</sup> ,

∈ H<sup>p</sup>�<sup>r</sup> ,

,

2

<sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>† <sup>A</sup>2T† � <sup>I</sup> <sup>A</sup>2A†

A2A† 1C1B† <sup>1</sup>Q<sup>B</sup><sup>2</sup>

A2A† 1C1B†

∈ H<sup>m</sup>�<sup>s</sup>

HZB2B† 2 � <sup>H</sup>†

<sup>1</sup>B2N† <sup>þ</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>Z</sup> � <sup>H</sup>†

A2T†

ð Þ1 ij 

. Let rank H ¼ min rank A2;rank L<sup>A</sup><sup>1</sup> f g ¼ r5, rank N ¼ min rank f B2;

, <sup>H</sup>† <sup>¼</sup> <sup>h</sup>† ij 

A2,

† <sup>¼</sup> <sup>N</sup>† ,

> † <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>T</sup>†

proposition.

as well,

matrix B∈ H<sup>m</sup>�<sup>n</sup>,

8 Matrix Theory-Applications and Theorems

<sup>X</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>s</sup> <sup>r</sup><sup>2</sup> , <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>

and there exist A†

† ij 

and <sup>T</sup>† <sup>¼</sup> <sup>t</sup>

rately.

1C1B†

<sup>þ</sup> <sup>W</sup> � <sup>T</sup>†

<sup>þ</sup>T†

�H†

�H†

<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

2C2B†

C2B† <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>T</sup>†

A2LTWNB†

<sup>X</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

ð Þ2 ij 

<sup>1</sup> ¼ a

∈ H<sup>n</sup>�<sup>k</sup>

A<sup>2</sup> A†

A2T†

$$\mathbf{x}\_{ij}^{01} = \frac{\sum\_{\alpha \in I\_{2^\*}, \{j\}} \mathbf{r} \mathbf{det}\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \left( \mathbf{B}\_1 \mathbf{B}\_1^\* \right)\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \mathbf{d}\_{i.}^{A\_1} \Big) \Big)\_{\alpha}^{\alpha}}{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{1^\*}, \boldsymbol{\beta}} \left| \mathbf{A}\_1^\* \mathbf{A}\_1 \right|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \sum\_{\alpha \in I\_{2^\*}, \boldsymbol{\alpha}} \left| \mathbf{B}\_1 \mathbf{B}\_1^\* \right|\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\alpha}},\tag{15}$$

where

$$\mathbf{d}\_{\boldsymbol{j}}^{B\_{1}} = \left[ \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{2,r}} \mathbf{rdet}\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \left( \mathbf{B}\_{1} \mathbf{B}\_{1}^{\*} \right)\_{\boldsymbol{j}} \Big( \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}\_{q\_{\cdot}}^{(1)} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}} \right] \in \mathbb{H}^{n \times 1}, \quad q = 1, \ldots, n,$$

$$\mathbf{d}\_{\boldsymbol{i}}^{A\_{1}} = \left[ \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{1,r}} \mathbf{cdet}\_{i} \Big( \left( \mathbf{A}\_{1}^{\*} \mathbf{A}\_{1} \right)\_{\boldsymbol{i}} \Big( \hat{\boldsymbol{\varepsilon}}\_{\boldsymbol{I}}^{(1)} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \right] \in \mathbb{H}^{1 \times r}, \quad l = 1, \ldots, r,$$

are the column vector and the row vector, respectively. ~c ð Þ1 <sup>q</sup>: and ~c ð Þ1 :<sup>l</sup> are the qth row and the lth column of <sup>C</sup><sup>~</sup> <sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> 1C1B<sup>∗</sup> 1.

(ii) Similarly, for the second term of (13), we have

$$\chi\_{ij}^{02} = \frac{\sum\_{\beta \in I\_{\rm g,r}(i)} \text{cdet}\_i \left( (\mathbf{H}^\* \mathbf{H})\_{:,i} \Big( \mathbf{d}\_{:,j}^{B\_2} \Big) \right)\_{\beta}^{\beta}}{\sum\_{\beta \in I\_{\rm g,r}} |\mathbf{H}^\* \mathbf{H}|\_{\beta}^{\beta} \sum\_{\alpha \in I\_{\rm g,r}} \left| \mathbf{B}\_2 \mathbf{B}\_2^\* \right|\_{\alpha}^{\alpha}} \,\tag{16}$$

or

$$\mathbf{x}\_{ij}^{02} = \frac{\sum\_{\alpha \in I\_{\omega,r} \{j\}} \mathbf{r} \mathbf{det}\_{\boldsymbol{\upbeta}} \Big( \left( \mathbf{B}\_2 \mathbf{B}\_2^\* \right)\_{\boldsymbol{\upbeta}} \left( \mathbf{d}\_i^H \right) \Big)\_{\alpha}^{\alpha}}{\sum\_{\boldsymbol{\upbeta}} \operatorname{\bf B}^\* \mathbf{H}\_{\boldsymbol{\upalpha},r}^{\alpha} \left| \mathbf{H}^\* \mathbf{H} \right|\_{\boldsymbol{\upbeta}}^{\boldsymbol{\upbeta}} \sum\_{\alpha \in I\_{\omega,r}} \left| \mathbf{B}\_2 \mathbf{B}\_2^\* \right|\_{\boldsymbol{\upalpha}}^{\alpha} \Big)} \tag{17}$$

where

$$\mathbf{d}\_{\boldsymbol{j}}^{B\_{2}} = \left[ \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\theta}^{\*}} \times \{\boldsymbol{j}\}} \mathbf{r} \mathbf{det}\_{\boldsymbol{j}} \left( \left( \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\*} \right)\_{\boldsymbol{j}} \left( \hat{\boldsymbol{c}}\_{\boldsymbol{q}^{\*}}^{(2)} \right) \right)\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}} \right] \in \mathbb{H}^{n \times 1}, \quad q = 1, \ldots, n, \boldsymbol{\alpha}$$
 
$$\mathbf{d}\_{\boldsymbol{i}}^{H} = \left[ \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{n}} \times \{\boldsymbol{i}\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_{\boldsymbol{i}} \left( \left( \mathbf{H}^{\*} \mathbf{H} \right)\_{\boldsymbol{i}} \left( \hat{\boldsymbol{c}}\_{\boldsymbol{i}}^{(2)} \right) \right)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \right] \in \mathbb{H}^{1 \times r}, \quad l = 1, \ldots, r, \quad \boldsymbol{l}$$

are the column vector and the row vector, respectively. ~c ð Þ2 <sup>q</sup>: and ~c ð Þ2 :<sup>l</sup> are the qth row and the lth column of <sup>C</sup><sup>~</sup> <sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup>C2B<sup>∗</sup> <sup>2</sup>. Note that <sup>H</sup><sup>∗</sup><sup>H</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ<sup>∗</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup>1A<sup>∗</sup> <sup>2</sup>A2L<sup>A</sup><sup>1</sup> : (iii) The third term of (13) can be obtained by Theorem 2.3 as well. Then

$$\alpha\_{ij}^{03} = \frac{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in \mathcal{I}\_{\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{u}} \{i\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_{i} \Big( (\mathbf{T}^{\*} \mathbf{T})\_{:i} \Big( \mathbf{d}\_{:,i}^{N} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}}}{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in \mathcal{I}\_{\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{u}} \colon \mathbf{T}^{\*} \mathbf{T} \big|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in \mathcal{I}\_{\boldsymbol{\gamma}, \boldsymbol{r}} \colon \mathbf{N} \mathbf{N}^{\*} \big|\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}}}}, \tag{18}$$

qfj ¼

<sup>f</sup> : is the <sup>f</sup>th row of <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

x<sup>05</sup> ij ¼

> x<sup>06</sup> ij ¼

ψ<sup>B</sup><sup>2</sup>

ψT

:<sup>j</sup> <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

<sup>q</sup>: <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

2 4

2 4

α∈Ir4,rf gf

β∈ Jr7,nf gq

P<sup>n</sup> q¼1 P<sup>r</sup> f ¼1 P

(vi) Consider the sixth term by analogy to the fourth term. So,

P<sup>n</sup> q¼1 P

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr5,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

<sup>φ</sup>qj <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

<sup>φ</sup>qj <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

β∈Jr7,nf gi

α∈ Ir4,rf gj

rdet<sup>j</sup> B2B<sup>∗</sup>

2 � �

cdet<sup>q</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>T</sup> :<sup>q</sup> �<sup>c</sup>

β P

P

and b€ð Þ<sup>2</sup>

where

or

and

<sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† � �A2.

(v) Similar to the previous case,

P

<sup>α</sup>∈Ir4,rf g<sup>j</sup> rdet<sup>j</sup> <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

<sup>2</sup>. Note that H<sup>∗</sup>

P

2 � �

2

<sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup>1A<sup>∗</sup>

β

<sup>P</sup> <sup>α</sup> <sup>α</sup>∈Ir4,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

� � � �α α

<sup>β</sup>∈Jr5,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>H</sup> :<sup>i</sup> <sup>a</sup>

<sup>β</sup>∈Jr5,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr5,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>H</sup> :<sup>i</sup> <sup>a</sup>

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr7,n <sup>T</sup><sup>∗</sup> j j <sup>T</sup> <sup>β</sup>

cdet<sup>q</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>T</sup> :<sup>q</sup> <sup>ψ</sup><sup>B</sup><sup>2</sup>

2 � �

α

β

3

3

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>1</sup>

<sup>j</sup>: <sup>ψ</sup><sup>T</sup> q: � � � � <sup>α</sup>

rdet<sup>j</sup> B2B<sup>∗</sup>

<sup>j</sup>: �cð Þ<sup>2</sup> q: � � � � <sup>α</sup>

ð Þ2 :l � � � � <sup>β</sup> β P

:j � � � � <sup>β</sup>

<sup>j</sup>: <sup>b</sup>€ð Þ<sup>2</sup> f : � � � � <sup>α</sup>

Cramer's Rules for the System of Two-Sided Matrix Equations and of Its Special Cases

,

ð Þ <sup>2</sup>;<sup>H</sup> :<sup>q</sup> � � � � <sup>β</sup>

ð Þ <sup>2</sup>;<sup>H</sup> :<sup>q</sup> � � � � <sup>β</sup>

β φqj

2

<sup>α</sup>∈Ir4,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

β

α

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup>�n, q <sup>¼</sup> <sup>1</sup>,…, n,

, l ¼ 1,…, r,

� � � �α α

β x<sup>01</sup> qf qfj

<sup>2</sup>A<sup>2</sup> and <sup>T</sup><sup>∗</sup>A<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.74105

<sup>2</sup>RHA<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

, (21)

, (22)

, (23)

, (24)

2

11

or

$$\alpha\_{ij}^{03} = \frac{\sum\_{\alpha \in I\_{\boldsymbol{\theta} \boldsymbol{\alpha}^\*} \{\boldsymbol{j}\}} \mathbf{r} \mathbf{det}\_{\boldsymbol{\theta}} \Big( (\mathbf{NN}^\*)\_{\boldsymbol{j}, \cdot} (\mathbf{d}\_{i.}^T) \Big)\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}}}{\sum\_{\boldsymbol{\theta} \in I\_{\boldsymbol{\tau}\_{\boldsymbol{\tau}, \boldsymbol{u}}}} |\mathbf{T}^\*\mathbf{T}|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\tau}\_{\boldsymbol{\theta}, \boldsymbol{r}}}} |\mathbf{NN}^\*|\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}}},\tag{19}$$

where

$$\mathbf{d}\_{j}^{N} = \left[ \sum\_{\alpha \in I\_{\delta \circ r} \{\hat{f}\}} \mathbf{rdet}\_{\circ} \Big( (\mathbf{NN}^{\*})\_{\circ} \Big( \hat{c}\_{\circ}^{(2)} \Big) \Big)\_{\alpha}^{\alpha} \right] \in \mathbb{H}^{n \times 1}, \ q = 1, \dots, n\_{\prime}$$

$$\mathbf{d}\_{i}^{T} = \left[ \sum\_{\beta \in I\_{\Im \circ r} \{i\}} \mathbf{cdet}\_{i} \Big( (\mathbf{T}^{\*} \mathbf{T})\_{\cdot} \Big( \hat{c}\_{\cdot}^{(2)} \Big) \Big)\_{\beta}^{\beta} \right] \in \mathbb{H}^{1 \times r}, \ l = 1, \dots, r,$$

are the column vector and the row vector, respectively. <sup>b</sup><sup>c</sup> ð Þ2 <sup>q</sup>: is the <sup>q</sup>th row and <sup>b</sup><sup>c</sup> ð Þ2 :<sup>l</sup> is the lth column of <sup>C</sup>b<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup>C2N<sup>∗</sup> . The following expression gives some simplify in computing. Since <sup>T</sup><sup>∗</sup><sup>T</sup> <sup>¼</sup> ð Þ <sup>R</sup>HA<sup>2</sup> <sup>∗</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> 2R<sup>∗</sup> <sup>H</sup>RHA<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> <sup>2</sup>RHA<sup>2</sup> and <sup>R</sup><sup>H</sup> <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � HH† <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† , then <sup>T</sup><sup>∗</sup><sup>T</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> <sup>2</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† � �A2.

(iv) Using (3) for determinantal representations of H† and T† in the fourth term of (13), we obtain

$$\mathbf{x}\_{\boldsymbol{\eta}}^{\boldsymbol{0}4} = \frac{\sum\_{q=1}^{\boldsymbol{\eta}} \sum\_{z=1}^{\boldsymbol{u}} \sum\_{f=1}^{\boldsymbol{v}} \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}}}} \left(\boldsymbol{c}\right)} \operatorname{cdet}\_{\boldsymbol{\eta}} \Big( \left(\mathbf{H}^{\star}\mathbf{H}\right)\_{\boldsymbol{\beta}} \Big(\mathbf{a}\_{\boldsymbol{\eta}}^{(2,\mathcal{I})}\Big) \Big)}{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}}}}} \left|\mathbf{H}^{\star}\mathbf{H}\right|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}\_{\mathcal{I}},\mathcal{u}}} \left|\mathbf{T}^{\star}\mathbf{T}\right|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}}} \Big| \boldsymbol{\eta}\_{\boldsymbol{\gamma}}^{\boldsymbol{0}} \mathbf{r}\_{\boldsymbol{\eta}}^{\boldsymbol{0}} \Big| \tag{20}$$

where a ð Þ 2;H :<sup>i</sup> and a ð Þ 2;T :<sup>i</sup> are the <sup>i</sup>th columns of the matrices <sup>H</sup>\* A<sup>2</sup> and T\* A2, respectively; qfj is the (fj)th element of Q<sup>B</sup><sup>2</sup> with the determinantal representation,

Cramer's Rules for the System of Two-Sided Matrix Equations and of Its Special Cases http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.74105 11

$$q\_{\boldsymbol{\hat{f}}} = \frac{\sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\tau}\_{4},r}\{\boldsymbol{j}\}} \operatorname{rdet}\_{\boldsymbol{\hat{f}}} \left( \left( \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\*} \right)\_{\boldsymbol{f},} \left( \stackrel{\scriptstyle \operatorname{\boldsymbol{\hat{o}}}^{\left(2\right)}}{\boldsymbol{b}\_{\boldsymbol{f},\boldsymbol{r}}} \right) \right)\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}}}{\sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\tau}\_{4},r}} \left| \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\*} \right|\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}}} ,$$

and b€ð Þ<sup>2</sup> <sup>f</sup> : is the <sup>f</sup>th row of <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup> <sup>2</sup>. Note that H<sup>∗</sup> <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup>1A<sup>∗</sup> <sup>2</sup>A<sup>2</sup> and T<sup>∗</sup> <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> <sup>2</sup>RHA<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup> 2 <sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† � �A2.

(v) Similar to the previous case,

$$\mathbf{x}\_{ij}^{05} = \frac{\sum\_{q=1}^{n} \sum\_{f=1}^{r} \sum\_{\beta \in I\_{\mathfrak{p},n} \{i\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_{i} \Big( (\mathbf{H}^{\*} \mathbf{H})\_{.i} \Big( \mathbf{a}\_{q}^{(2,H)} \Big) \Big)\_{\beta}^{\beta} \mathbf{x}\_{q\ell}^{01} q\_{\tilde{\eta}} }{\sum\_{\beta \in I\_{\mathfrak{p},n}} |\mathbf{H}^{\*} \mathbf{H}|\_{\beta}^{\beta}}, \tag{21}$$

(vi) Consider the sixth term by analogy to the fourth term. So,

$$\alpha\_{ij}^{06} = \frac{\sum\_{q=1}^{n} \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\boldsymbol{\gamma}\_{\mathcal{I}}, \boldsymbol{\alpha}} \{i\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_{i} \Big( (\mathbf{H}^{\*} \mathbf{H})\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \mathbf{a}\_{\boldsymbol{\eta}}^{(2,H)} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\beta} \varphi\_{q\boldsymbol{j}}}{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\boldsymbol{\gamma}\_{\mathcal{I}}, \boldsymbol{\alpha}}} |\mathbf{H}^{\*} \mathbf{H}|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\beta} \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\boldsymbol{\gamma}\_{\mathcal{I}}, \boldsymbol{\alpha}} \mid \mathbf{T}^{\*} \mathbf{T}|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\beta} \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\gamma}\_{\mathcal{I}}, \boldsymbol{\alpha}}} \left| \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\*} \right|\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\alpha}}\,\tag{22}$$

where

are the column vector and the row vector, respectively. ~c

x<sup>03</sup> ij ¼

x<sup>03</sup> ij ¼

dN

dT

column of <sup>C</sup>b<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup>C2N<sup>∗</sup>

, then <sup>T</sup><sup>∗</sup><sup>T</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

ð Þ 2;T

<sup>T</sup><sup>∗</sup><sup>T</sup> <sup>¼</sup> ð Þ <sup>R</sup>HA<sup>2</sup> <sup>∗</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

<sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ†

obtain

P<sup>n</sup> q¼1 P<sup>n</sup> z¼1 P<sup>r</sup> f¼1 P

> ð Þ 2;H :<sup>i</sup> and a

x<sup>04</sup> ij ¼

where a

:<sup>j</sup> <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

<sup>i</sup>: <sup>¼</sup> <sup>X</sup>

2R<sup>∗</sup>

2 4

2 4

α∈ Ir6,rf gf

β∈ Jr7,nf gi

are the column vector and the row vector, respectively. <sup>b</sup><sup>c</sup>

<sup>H</sup>RHA<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

(fj)th element of Q<sup>B</sup><sup>2</sup> with the determinantal representation,

<sup>2</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† � �

<sup>β</sup>∈Jr5,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>H</sup> :<sup>i</sup> <sup>a</sup>

P

:<sup>i</sup> are the <sup>i</sup>th columns of the matrices <sup>H</sup>\*

<sup>2</sup>. Note that <sup>H</sup><sup>∗</sup><sup>H</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ<sup>∗</sup>

(iii) The third term of (13) can be obtained by Theorem 2.3 as well. Then

P

P

P

P

column of <sup>C</sup><sup>~</sup> <sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>H</sup><sup>∗</sup>C2B<sup>∗</sup>

10 Matrix Theory-Applications and Theorems

or

where

ð Þ2 <sup>q</sup>: and ~c

<sup>β</sup>∈Jr7,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>T</sup> :<sup>i</sup> <sup>d</sup><sup>N</sup>

β P

<sup>α</sup><sup>∈</sup> Ir6,rf g<sup>j</sup> rdet<sup>j</sup> NN<sup>∗</sup> ð Þ<sup>j</sup>: <sup>d</sup><sup>T</sup>

β P

ð Þ2 q: � � � � <sup>α</sup>

ð Þ2 :l � � � � <sup>β</sup>

α

3

β

3

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr7,n <sup>T</sup><sup>∗</sup> j j <sup>T</sup> <sup>β</sup>

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr7,n <sup>T</sup><sup>∗</sup> j j <sup>T</sup> <sup>β</sup>

rdet<sup>j</sup> NN<sup>∗</sup> ð Þ<sup>j</sup>: <sup>b</sup><sup>c</sup>

cdet<sup>i</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>T</sup> :<sup>i</sup> <sup>b</sup><sup>c</sup>

A2.

<sup>β</sup>∈Jr5,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

(iv) Using (3) for determinantal representations of H† and T† in the fourth term of (13), we

ð Þ <sup>2</sup>;<sup>H</sup> :<sup>q</sup> � � � � <sup>β</sup>

> β P

β P

<sup>β</sup><sup>∈</sup> Jr7,n <sup>T</sup><sup>∗</sup> j j <sup>T</sup> <sup>β</sup>

β

A<sup>2</sup> and T\*

<sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup>1A<sup>∗</sup>

:j � � � � <sup>β</sup>

i: � � � �<sup>α</sup>

<sup>α</sup>∈Ir6,r NN<sup>∗</sup> j j<sup>α</sup>

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>1</sup>

<sup>5</sup><sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>1</sup>�<sup>r</sup>

ð Þ2

. The following expression gives some simplify in computing. Since

<sup>2</sup>RHA<sup>2</sup> and <sup>R</sup><sup>H</sup> <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � HH† <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>I</sup> � <sup>A</sup><sup>2</sup>

<sup>α</sup>∈Ir6,r NN<sup>∗</sup> j j<sup>α</sup>

β

α

α

α

, q ¼ 1, …, n,

, l ¼ 1, …, r,

<sup>q</sup>: is the <sup>q</sup>th row and <sup>b</sup><sup>c</sup>

<sup>β</sup>∈Jr7,nf g<sup>q</sup> cdet<sup>q</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup> ð Þ <sup>T</sup> :<sup>q</sup> <sup>a</sup>

ð Þ2

<sup>2</sup>A2L<sup>A</sup><sup>1</sup> :

:<sup>l</sup> are the qth row and the lth

, (18)

, (19)

ð Þ2

ð Þ <sup>2</sup>;<sup>T</sup> :<sup>z</sup> � � � � <sup>β</sup>

A2, respectively; qfj is the

β x<sup>01</sup> zf qfj

,

(20)

:<sup>l</sup> is the lth

$$\varphi\_{q\circ} = \sum\_{\beta \in I\_{\mathcal{T},n}\{i\}} \mathsf{cdet}\_{q} \Big( (\mathbf{T}^\*\mathbf{T})\_{\cdot q} \Big( \boldsymbol{\psi}\_{\cdot \boldsymbol{j}}^{B\_2} \Big) \Big)\_{\beta}^{\beta} \tag{23}$$

or

$$\varphi\_{q\circ} = \sum\_{\alpha \in l\_{4\circ'}\{\bar{\jmath}\}} \mathbf{rdet}\_{\dot{\jmath}} \Big( \left( \mathbf{B}\_2 \mathbf{B}\_2^\* \right)\_{\dot{\jmath}.} \Big( \psi\_{q,}^T \Big) \Big)\_{\alpha'}^{\alpha} \tag{24}$$

and

$$\begin{aligned} \psi\_{\boldsymbol{j}}^{B\_{2}} &= \left[ \sum\_{\boldsymbol{\alpha} \in I\_{\boldsymbol{\eta},\boldsymbol{r}} \{\boldsymbol{f}\}} \mathsf{rdet}\_{\boldsymbol{\beta}} \Big( \left( \mathbf{B}\_{2} \mathbf{B}\_{2}^{\*} \right)\_{\boldsymbol{j}} \left( \boldsymbol{\varepsilon}\_{\boldsymbol{q},\cdot}^{(2)} \right) \Big)\_{\boldsymbol{\alpha}}^{\boldsymbol{\alpha}} \right] \in \mathbb{H}^{1 \times n}, \ \boldsymbol{q} &= \boldsymbol{1}, \ldots, n, \\\ \psi\_{\boldsymbol{q}}^{T} &= \left[ \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\boldsymbol{\gamma},\boldsymbol{r}} \{\boldsymbol{q}\}} \mathsf{cdet}\_{\boldsymbol{q}} \Big( \left( \mathbf{T}^{\*} \mathbf{T} \right)\_{\boldsymbol{\eta}} \Big( \boldsymbol{\tilde{\varepsilon}}\_{\boldsymbol{J}}^{(2)} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \right] \in \mathbb{H}^{r \times 1}, \ \boldsymbol{l} &= 1, \ldots, r, \end{aligned} $$

are the column vector and the row vector, respectively. c<sup>q</sup>: ð Þ2 and c:<sup>l</sup> ð Þ2 are the qth row and the <sup>l</sup>th column of <sup>C</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>T</sup><sup>∗</sup>C2B<sup>∗</sup> <sup>2</sup> for all i ¼ 1, …, n and j ¼ 1,…, p.

(vii) Using (3) for determinantal representations of and T† and (2) for N† in the seventh term of (13), we obtain

$$\mathbf{x}\_{\boldsymbol{\eta}}^{\boldsymbol{\eta}\mathcal{T}} = \frac{\sum\_{q=1}^{n} \sum\_{f=1}^{\prime} \sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\mathcal{I}\gamma,n}\{\boldsymbol{i}\}} \mathbf{c} \mathbf{det}\_{i} \Big( (\mathbf{T}^{\*}\mathbf{T})\_{\boldsymbol{j}} \Big( \mathbf{a}\_{\boldsymbol{\eta}}^{(2,T)} \Big) \Big)\_{\boldsymbol{\beta}}^{\beta} \mathbf{x}\_{\boldsymbol{\eta}\mathcal{T}}^{\boldsymbol{0}1} \sum\_{a \in I\_{\mathcal{I}\gamma}\{\boldsymbol{i}\}} \mathbf{r} \mathbf{det}\_{i} \Big( (\mathbf{N}\mathbf{N}^{\*})\_{\boldsymbol{j}} \Big( \mathbf{b}\_{\boldsymbol{f},}^{(2,\mathcal{N})} \Big) \Big)\_{a}^{a}}{\sum\_{\boldsymbol{\beta} \in I\_{\mathcal{I}\gamma,n}} |\mathbf{T}^{\*}\mathbf{T}|\_{\boldsymbol{\beta}}^{\boldsymbol{\beta}} \sum\_{a \in I\_{\mathcal{I}\gamma,r}} |\mathbf{N}\mathbf{N}^{\*}|\_{a}^{a}} \, \tag{25}$$

where a ð Þ <sup>2</sup>;<sup>T</sup> :<sup>q</sup> and bð Þ <sup>2</sup>;<sup>N</sup> <sup>f</sup> : are the <sup>q</sup>th column of <sup>T</sup>\* <sup>A</sup><sup>2</sup> and the <sup>f</sup>th row of <sup>B</sup>2N<sup>∗</sup> <sup>¼</sup> <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup> <sup>2</sup>R<sup>B</sup><sup>1</sup> , respectively.

Hence, we prove the following theorem.

Theorem 3.1. Let <sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>1</sup> , <sup>B</sup><sup>1</sup> <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>s</sup> <sup>r</sup><sup>2</sup> , <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>3</sup> , <sup>B</sup><sup>2</sup> <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>p</sup> <sup>r</sup><sup>4</sup> , rank<sup>H</sup> <sup>¼</sup> rank <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ¼ <sup>r</sup>5, rankN ¼ ð Þ¼ R<sup>B</sup>1B<sup>2</sup> r6, and rankT ¼ ð Þ¼ RHA<sup>2</sup> r7. Then, for the partial solution (13), <sup>X</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>x</sup><sup>0</sup> ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>r</sup> , of the system (1), we have,

$$\mathbf{x}^{0}\_{\text{ij}} = \sum\_{\delta} \mathbf{x}^{0\delta}\_{\text{ij}} \,. \tag{26}$$

i. System (27) is consistent.

ii. R<sup>A</sup>1C<sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>0</sup>, <sup>R</sup><sup>H</sup> <sup>C</sup><sup>2</sup> � <sup>A</sup>2A†

iii. rank½ �¼ A<sup>1</sup> C<sup>1</sup> rank½ � A<sup>1</sup> , rank

<sup>X</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

<sup>X</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

Theorem 4.1. Let A<sup>1</sup> ¼ a

ð Þ1 ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>r</sup>

P

�

for all λ ¼ 1, 2 and μ ¼ 1, 2. Here

d ð Þ1 ij <sup>≔</sup> <sup>X</sup> α∈ Ir3,rf gj

and the row-vectors vð Þ<sup>1</sup>

P

<sup>C</sup>1Q<sup>B</sup>2≕Q<sup>b</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>qij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>p</sup>

x0 ij ¼

determinantal representations,

C<sup>1</sup> ¼ c

B† <sup>2</sup> ¼ b

A∗

ð Þ1 ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>r</sup>

ð Þ2 ,† ij � � <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>p</sup>�<sup>r</sup>

<sup>1</sup>C1≕C<sup>b</sup> <sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup><sup>c</sup>

<sup>1</sup>C1B<sup>2</sup> � � <sup>¼</sup> <sup>0</sup>, <sup>C</sup>2L<sup>B</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>0</sup>.

<sup>1</sup>C<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup>1H† <sup>C</sup><sup>2</sup> � <sup>A</sup>2A†

C2B†

By putting Z1=W1=0, there is the following partial solution of (27),

<sup>X</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>A</sup>†

, and C<sup>2</sup> ¼ c

, and <sup>H</sup>† <sup>¼</sup> <sup>h</sup>†

, H<sup>∗</sup>

<sup>β</sup>∈Jr1,nf g<sup>i</sup> cdet<sup>i</sup> <sup>A</sup><sup>∗</sup>

<sup>β</sup>∈Jr4,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

rdet<sup>j</sup> B2B<sup>∗</sup>

ð Þ1 <sup>i</sup><sup>1</sup> ;…; v

<sup>i</sup>: ¼ v

<sup>β</sup>∈Jr1,n <sup>A</sup><sup>∗</sup>

β P

2 � �

<sup>j</sup>: <sup>v</sup>ð Þ<sup>1</sup> i: � � � � <sup>α</sup>

ð Þ1 ir � � and <sup>u</sup>ð Þ<sup>1</sup>

P

P<sup>m</sup> <sup>l</sup>¼<sup>1</sup> <sup>g</sup> ð Þ<sup>μ</sup> il P

In this case, the general solution of (27) can be expressed as

Since by (9), <sup>L</sup><sup>A</sup>1H† <sup>¼</sup> <sup>L</sup><sup>A</sup><sup>1</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>A</sup>2L<sup>A</sup><sup>1</sup> ð Þ† <sup>¼</sup> <sup>H</sup>†

<sup>1</sup>C<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

C2 B2 � �

where Z<sup>1</sup> and W<sup>1</sup> are the arbitrary matrices over H with appropriate sizes.

<sup>2</sup> � <sup>H</sup>†

<sup>1</sup>C<sup>1</sup> <sup>þ</sup> <sup>H</sup>†

ð Þ2 ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>p</sup>

ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>k</sup>

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � �

<sup>1</sup>A<sup>1</sup> � � � � β β

<sup>2</sup>≕Cb<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup><sup>c</sup>

:<sup>i</sup> <sup>b</sup><sup>c</sup> ð Þ1 :j � � � � <sup>β</sup>

<sup>α</sup>∈Ir3,rf g<sup>j</sup> rdet<sup>j</sup> <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

α , gð Þ<sup>1</sup>

<sup>α</sup>∈Ir1,m <sup>A</sup>1A<sup>∗</sup>

� � � � α α P

C2B<sup>∗</sup>

ð Þ1

A2A†

C2B†

ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>m</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>1</sup> , <sup>A</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>

ð Þ2 ij � � <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>r</sup>

β

1

þ

P

2 � � j: ð Þ <sup>q</sup>b<sup>l</sup>: � �<sup>α</sup>

il <sup>≔</sup> <sup>X</sup> α∈Ir1,mf gl

<sup>i</sup>: <sup>¼</sup> <sup>u</sup>ð Þ<sup>1</sup>

. Then, the partial solution (29), <sup>X</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>x</sup><sup>0</sup>

¼ rank½ � B<sup>2</sup> , rank

<sup>1</sup>C1B<sup>2</sup> � �B†

1C1B2B†

<sup>2</sup> � <sup>H</sup>†

A2A†

A<sup>1</sup> C1B<sup>2</sup> A<sup>2</sup> C<sup>2</sup> � �

Cramer's Rules for the System of Two-Sided Matrix Equations and of Its Special Cases

<sup>2</sup> þ L<sup>A</sup>1LHZ<sup>1</sup> þ L<sup>A</sup>1W1R<sup>B</sup><sup>2</sup> :

1C1B2B†

ð Þ2

, and there exist A†

, H<sup>∗</sup>A2A<sup>∗</sup>

<sup>β</sup>∈Jr4,n <sup>H</sup><sup>∗</sup> j j <sup>H</sup> <sup>β</sup>

α

2

<sup>α</sup>∈Ir3,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

� � � � α α

<sup>i</sup><sup>1</sup> ;…; <sup>u</sup>ð Þ<sup>1</sup> im � � such that

¼ rank

http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.74105

<sup>2</sup> þ L<sup>A</sup>1LHZ<sup>1</sup> þ L<sup>A</sup>1W1R<sup>B</sup><sup>2</sup> , (28)

, then we have some simplification of (28),

ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>k</sup>�<sup>n</sup> <sup>r</sup><sup>2</sup> , <sup>B</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>

. Let rankH ¼ min rankA2;rankL<sup>A</sup><sup>1</sup> f g ¼ r4. Denote

ij � � <sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>r</sup>

d ð Þ λ ij

> β P

rdet<sup>l</sup> A1A<sup>∗</sup>

1 � �

<sup>l</sup>: <sup>u</sup>ð Þ<sup>1</sup> i: � � � � <sup>α</sup>

α ,

<sup>1</sup>≕A<sup>b</sup> <sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup><sup>a</sup>

A<sup>1</sup> A<sup>2</sup> � �. 13

<sup>2</sup>: (29)

<sup>1</sup> ¼ a

ð Þ2

<sup>α</sup><sup>∈</sup> Ir3,r <sup>B</sup>2B<sup>∗</sup>

� � � � α α

2

ð Þ2 ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>r</sup>�<sup>p</sup> <sup>r</sup><sup>3</sup> ,

ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�m, and

, possesses the following

ð Þ1 ,† ij � �<sup>∈</sup> <sup>H</sup><sup>n</sup>�<sup>m</sup>,

where the term x<sup>01</sup> ij has the determinantal representations (14) and (15), x<sup>02</sup> ij —(16) and (17), x<sup>03</sup> ij —(18) and (19), x<sup>04</sup> ij —(20), x<sup>05</sup> ij —(21), x<sup>06</sup> ij —(23) and (24), and x<sup>07</sup> ij —(25).
