3. Exact solution

In order to develop the generalized second-grade nanofluid model, we replace the partial derivative with respect to τ by CF fractional operator of order α, and Eqs. (5)–(7) can be written as

$$D\_{\tau}^{\alpha}\upsilon(\xi,\tau) = \frac{1}{\text{Re}}\frac{\partial^2 \upsilon}{\partial \xi^2} + \frac{\beta}{a\_1}D\_{\tau}^{\alpha}\frac{\partial^3 \upsilon}{\partial \tau \partial \xi^2} - M\_1\upsilon + Gr\phi\_2\theta + Gm\phi\_3\Phi\_4 \tag{9}$$

$$\frac{\Pr\phi\_4}{\lambda\_{\text{nf}}} D\_\text{\text{t}}^\alpha \theta = \frac{\partial^2 \theta}{\partial \xi^2} \,\text{}\,\tag{10}$$

<sup>v</sup>ð Þ¼ <sup>0</sup>; <sup>q</sup> <sup>q</sup>

θ ξð Þ¼ ; q

Φð Þ¼ ξ; q

M<sup>4</sup> <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

b1 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup>

b1 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup>

a2 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>4; <sup>0</sup>; <sup>d</sup><sup>1</sup>

χ ξð Þ¼ ; q; a; b; c

vð Þ¼ ξ; q

1 2

χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

<sup>þ</sup>Gr3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>þ</sup>R1χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

<sup>þ</sup>R2χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

�Gr3χ ξ ffiffiffiffi

�R1χ ξ ffiffiffiffi

�R2χ ξ ffiffiffiffi

2

Gr<sup>2</sup> � 3d3Gr2γ<sup>1</sup> þ Gr2γ<sup>1</sup>

d<sup>2</sup> � d<sup>3</sup>

, d<sup>5</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>8</sup>

2 �

, Gr<sup>2</sup> <sup>¼</sup> Gr<sup>1</sup> δ1

d4d<sup>5</sup>

Gm<sup>2</sup> � 3d5Gm2γ<sup>1</sup> þ Gm2γ<sup>1</sup>

d<sup>4</sup> � d<sup>5</sup>

Eqs. (19) and (20) are written in simplified form

, Gm<sup>3</sup> <sup>¼</sup> Gm2γ<sup>1</sup>

2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi δ8 <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>4</sup>δ<sup>9</sup> 2

where

Gr<sup>3</sup> <sup>¼</sup> Gr2γ<sup>1</sup>

2

<sup>R</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> �d<sup>3</sup>

s

d2d<sup>3</sup>

<sup>R</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>d</sup><sup>5</sup> 2

<sup>d</sup><sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>8</sup> 2 þ

Upon solving Eqs. (13)–(15) and using the boundary conditions from Eqs. (16)–(18), we get:

Magnetite Molybdenum Disulphide Nanofluid of Grade Two: A Generalized Model with Caputo-Fabrizio Derivative

exp �ξ

exp �ξ

� � <sup>þ</sup> <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

� � <sup>þ</sup> Gm3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

� � <sup>þ</sup> <sup>R</sup>3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

� � � <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffi

� � � Gm3χ ξ ffiffiffiffi

� � � <sup>R</sup>3χ ξ ffiffiffiffi

1 q þ a

θ ξð Þ¼ ; <sup>q</sup> χ ξ ffiffiffiffi

<sup>Φ</sup>ð Þ¼ <sup>ξ</sup>; <sup>q</sup> χ ξ ffiffiffiffi

2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi δ8 <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>4</sup>δ<sup>9</sup> 2

, d<sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>4</sup>

2

s

exp �ξ

b1 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup>

a2 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup>

, Gm<sup>2</sup> <sup>¼</sup> Gm<sup>1</sup>

, R<sup>2</sup> <sup>¼</sup> �d<sup>4</sup>

2 þ

δ6

s

, Gr<sup>1</sup> <sup>¼</sup> Grϕ<sup>2</sup> d0

2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi b1q q þ γ<sup>1</sup>

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi a2q q þ γ<sup>1</sup> � � r

> χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

> > M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

b1 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup> � �

a2 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>5; <sup>0</sup>; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �,

! s

a2 <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q þ b q þ c

, R<sup>0</sup> <sup>¼</sup> �d<sup>2</sup>

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi δ4 <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>4</sup>δ<sup>5</sup> 2

M<sup>4</sup> <sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>0</sup>; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

1 2

! s

1 q

> 1 q

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; �iω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � � <sup>þ</sup>

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>4; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

<sup>q</sup><sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>ω</sup><sup>2</sup> , <sup>v</sup>ð Þ¼ <sup>∞</sup>; <sup>q</sup> <sup>0</sup>: (18)

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>i</sup>ω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>q</sup>; <sup>d</sup>5; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

� �, (23)

� �, (24)

2

Gm<sup>2</sup> þ 2d4Gm2γ<sup>1</sup> � Gm2γ<sup>1</sup>

, d<sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>4</sup>

, Gm<sup>1</sup> <sup>¼</sup> Gmϕ<sup>3</sup>

2 �

d0

d<sup>4</sup> � d<sup>5</sup>

, (19)

http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.72863

, (20)

: (22)

Gr<sup>2</sup> þ 2d2Gr2γ<sup>1</sup> � Gr2γ<sup>1</sup>

2

ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi δ4 <sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>4</sup>δ<sup>5</sup> 2

, δ<sup>1</sup> ¼ b1M4,

,

,

d<sup>2</sup> � d<sup>3</sup>

s

(21)

263

2

,

$$a\_4 D\_\tau^a \Phi = \frac{\partial^2 \Phi}{\partial \xi^2},\tag{11}$$

where D<sup>α</sup> <sup>τ</sup> (.) is known as Caputo-Fabrizio time fractional operator and is defined as:

$$D\_t^a f(\tau) = \frac{1}{1-a} \int\_0^\tau \exp\left(\frac{-a(\tau-t)}{1-a}\right) f^\top(\tau)dt;\tag{12}$$

Applying Laplace transform to Eqs. (9)–(11) and using the corresponding initial conditions from Eq. (8), we have:

$$\frac{d^2\overline{\theta}(\xi,\eta)}{d\xi^2} - \frac{b\_1\eta}{\eta+\gamma\_1}\overline{\theta}(\xi,\eta) = 0,\tag{13}$$

$$\frac{d^2\overline{\Phi}(\xi,q)}{d\xi^2} - \frac{a\_2q}{q+\mathcal{\gamma}\_1}\overline{\Phi}(\xi,q) = 0,\tag{14}$$

$$\frac{d^2\overline{v}(\xi,q)}{d\xi^2} - \frac{M\_4(q+M\_3)}{(q+d\_1)}\overline{v}(\xi,q) = -Gr\phi\_2\overline{\theta}(\xi,q) - Gm\phi\_3\overline{\Phi}(\xi,q). \tag{15}$$

where <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> Prϕ<sup>4</sup> <sup>λ</sup>nf <sup>γ</sup>0, <sup>γ</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> αγ0, <sup>a</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>4γ0, <sup>M</sup><sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>1þγ<sup>0</sup> <sup>d</sup><sup>0</sup> , <sup>M</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>1γ<sup>1</sup> M1þγ<sup>0</sup> , <sup>d</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>1γ<sup>1</sup> a1þRe βγ<sup>0</sup> , <sup>γ</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup>�<sup>α</sup> and <sup>d</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>1þReβγ<sup>0</sup> Rea<sup>1</sup> :

Boundary conditions are transformed to:

$$
\overline{\theta}(0,q) = \frac{1}{q'} \quad \quad \overline{\theta}(\circ,q) = 0,\tag{16}
$$

$$
\overline{\Phi}(0,q) = \frac{1}{q'} \qquad \overline{\Phi}(\circ,q) = 0,\tag{17}
$$

Magnetite Molybdenum Disulphide Nanofluid of Grade Two: A Generalized Model with Caputo-Fabrizio Derivative http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.72863 263

$$
\overline{v}(0,q) = \frac{q}{q^2 + \omega^2}, \quad \overline{v}(\simeq, q) = 0. \tag{18}
$$

Upon solving Eqs. (13)–(15) and using the boundary conditions from Eqs. (16)–(18), we get:

$$\overline{\partial}(\xi, q) = \frac{1}{q} \exp\left(-\xi \sqrt{\frac{b\_1 q}{q + \wp\_1}}\right) \tag{19}$$

$$\overline{\Phi}(\xi,\eta) = \frac{1}{\eta} \exp\left(-\xi \sqrt{\frac{a\_2 q}{q + \chi\_1}}\right),\tag{20}$$

$$
\overline{\sigma}(\xi,q) = \frac{1}{2}\overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, -i\omega, M\_3, d\_1\right) + \frac{1}{2}\overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, \mathrm{i}\omega, M\_3, d\_1\right)
$$

$$
+ G r\_3 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, 0, M\_3, d\_1\right) + R\_0 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, d\_2, M\_3, d\_1\right)
$$

$$
+ R\_1 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, d\_3, M\_3, d\_1\right) + G m\_3 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, 0, M\_3, d\_1\right)
$$

$$
+ R\_2 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, d\_4, M\_3, d\_1\right) + R\_3 \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{M\_4}, q, d\_3, M\_3, d\_1\right)
$$

$$
$$

$$
$$

$$
$$

$$
\overline{\chi}(\xi, q, a, b, c) = \frac{1}{q+a} \exp\left(-\xi\sqrt{\frac{q+b}{q+c}}\right).
\tag{22}
$$

Eqs. (19) and (20) are written in simplified form

$$\overline{\Theta}(\xi,\eta) = \overline{\chi}\left(\xi\sqrt{b\_1},\eta,0,0,\mathcal{V}\_1\right),\tag{23}$$

$$\overline{\Phi}(\xi, q) = \overline{\chi}(\xi \sqrt{a\_2}, q, 0, 0, \mathcal{y}\_1), \tag{24}$$

where

thermal Grashof number, Gm <sup>¼</sup> <sup>g</sup>νβCf

Dα

<sup>τ</sup> vð Þ¼ ξ; τ

1 Re ∂2 v <sup>∂</sup>ξ<sup>2</sup> <sup>þ</sup> <sup>β</sup> a1 Dα τ ∂3 v

Df

is the Schmidt number.

Pr ϕ<sup>4</sup> λnf

a4D<sup>α</sup>

exp �αð<sup>τ</sup> � <sup>t</sup><sup>Þ</sup> 1 � α � �

> d2 θ ξð Þ ; q <sup>d</sup>ξ<sup>2</sup> � <sup>b</sup>1<sup>q</sup>

d2 Φð Þ ξ; q <sup>d</sup>ξ<sup>2</sup> � <sup>a</sup>2<sup>q</sup>

<sup>λ</sup>nf <sup>γ</sup>0, <sup>γ</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> αγ0, <sup>a</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>4γ0, <sup>M</sup><sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>1þγ<sup>0</sup>

θð Þ¼ 0; q

Φð Þ¼ 0; q

1 q

1 q

<sup>d</sup>ξ<sup>2</sup> � <sup>M</sup>4ð Þ <sup>q</sup> <sup>þ</sup> <sup>M</sup><sup>3</sup> ð Þ q þ d<sup>1</sup>

Dα τθ <sup>¼</sup> <sup>∂</sup><sup>2</sup> θ

<sup>τ</sup><sup>Φ</sup> <sup>¼</sup> <sup>∂</sup><sup>2</sup>

<sup>τ</sup> (.) is known as Caputo-Fabrizio time fractional operator and is defined as:

f }0

Applying Laplace transform to Eqs. (9)–(11) and using the corresponding initial conditions

q þ γ<sup>1</sup>

q þ γ<sup>1</sup>

Φ

In order to develop the generalized second-grade nanofluid model, we replace the partial derivative with respect to τ by CF fractional operator of order α, and Eqs. (5)–(7) can be written as

Prandtl number and Sc <sup>¼</sup> <sup>ν</sup>

3. Exact solution

262 Microfluidics and Nanofluidics

where D<sup>α</sup>

Dα

from Eq. (8), we have:

where <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> Prϕ<sup>4</sup>

<sup>d</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>1þReβγ<sup>0</sup> Rea<sup>1</sup> :

<sup>τ</sup> <sup>f</sup>ðτÞ ¼ <sup>1</sup>

d2 vð Þ ξ; q

Boundary conditions are transformed to:

1 � α

ð τ

0

<sup>U</sup><sup>3</sup> ð Þ Cw � <sup>C</sup><sup>∞</sup> is the mass Grashof number, Pr <sup>¼</sup> ð Þ <sup>μ</sup>cp <sup>f</sup>

<sup>∂</sup>τ∂ξ<sup>2</sup> � <sup>M</sup>1<sup>v</sup> <sup>þ</sup> Grϕ2<sup>θ</sup> <sup>þ</sup> Gmϕ3Φ, (9)

<sup>∂</sup>ξ<sup>2</sup> , (10)

<sup>∂</sup>ξ<sup>2</sup> , (11)

ðτÞdt; for 0 < α < 1 (12)

θ ξð Þ¼ ; q 0, (13)

Φð Þ¼ ξ; q 0, (14)

, <sup>d</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>1γ<sup>1</sup> a1þRe βγ<sup>0</sup>

, θð Þ¼ ∞; q 0, (16)

, Φð Þ¼ ∞; q 0, (17)

, <sup>γ</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>1</sup>

<sup>1</sup>�<sup>α</sup> and

vð Þ¼� ξ; q Grϕ2θ ξð Þ� ; q Gmϕ3Φð Þ ξ; q : (15)

M1þγ<sup>0</sup>

<sup>d</sup><sup>0</sup> , <sup>M</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>1γ<sup>1</sup>

<sup>k</sup> is the

$$\begin{aligned} Gr\_3 &= \frac{Gr\_2 \gamma\_1^{\gamma\_2}}{d\_2 d\_3}, \; Gm\_3 = \frac{Gm\_2 \gamma\_1^{\gamma\_2}}{d\_4 d\_5}, \; Gr\_2 = \frac{Gr\_1}{\delta\_1}, \; Gm\_2 = \frac{Gm\_1}{\delta\_6}, \; R\_0 = \frac{-d\_2^2 Gr\_2 + 2d\_2 G \gamma\_2 \gamma\_1 - G r\_2 \gamma\_1^2}{d\_2 - d\_3}, \\\ R\_1 &= \frac{-d\_3 \, ^2 Gr\_2 - 3d\_3 G r\_2 \gamma\_1 + G r\_2 \gamma\_1^{\gamma\_2}}{d\_2 - d\_3}, \; R\_2 = \frac{-d\_4 \, ^2 G m\_2 + 2d\_4 G m\_2 \gamma\_1 - G m\_2 \gamma\_1^{\gamma\_2}}{d\_4 - d\_5}, \\\ R\_3 &= \frac{d\_5 \, ^2 G m\_2 - 3d\_5 G m\_2 \gamma\_1 + G m\_2 \gamma\_1^{\gamma\_2}}{d\_4 - d\_5}, \; d\_2 = \frac{\delta\_4}{2} + \sqrt{\frac{\delta\_4^2 + 4\delta\_5}{2}}, \; d\_3 = \frac{\delta\_4}{2} - \sqrt{\frac{\delta\_4^2 + 4\delta\_5}{2}}, \\\ d\_4 &= \frac{\delta\_8}{2} + \sqrt{\frac{\delta\_8^2 + 4\delta\_9}{2}}, \; d\_5 = \frac{\delta\_8}{2} - \sqrt{\frac{\delta\_8^2 + 4\delta\_9}{2}}, \; G r\_1 = \frac{Gr \delta\_2}{d\_0}, \; G m\_1 = \frac{Gm \phi\_3}{d\_0}}, \; \delta\_1 = b\_1 M\_4 \end{aligned}$$

$$
\delta\_2 = b\_1 d\_1 - M\_4 \gamma\_1 - M\_4 M\_3 \quad \delta\_3 = M\_4 M\_3 \gamma\_1 \quad \delta\_4 = \frac{\delta\_2}{\delta\_1}, \quad \delta\_5 = \frac{\delta\_3}{\delta\_1}, \quad \delta\_6 = a\_2 - M\_4,
$$

$$
\delta\_7 = a\_2 d\_1 - M\_4 \gamma\_1 - M\_4 M\_3 \quad \delta\_8 = \frac{\delta\_7}{\delta\_6}, \quad \delta\_9 = \frac{\delta\_3}{\delta\_6}.
$$

Now, inverse Laplace transform of Eqs. (21), (23) and (24) is:

$$\begin{aligned} \upsilon(\xi,\tau) &= \frac{1}{2}\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,-i\omega,\ \ M\_3,\ d\_1\right) + \frac{1}{2}\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,i\omega,\ M\_3,d\_1\right) \\ &+ \operatorname{Gr}\_3\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,0\ \ M\_3,d\_1\right) + \operatorname{R}\_0\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,\ d\_2,M\_3,d\_1\right) \\ &+ \operatorname{R}\_1\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,d\_3,M\_3,d\_1\right) + \operatorname{Gm}\_3\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,0\ \ M\_3,d\_1\right) \\ &+ \operatorname{R}\_2\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,d\_4\right) + \operatorname{R}\_3\chi\left(\xi\sqrt{M\_4},\ \tau,d\_5,M\_3,d\_1\right) - \operatorname{Gr}\_3\chi\left(\xi\sqrt{b\_1},\ \tau,0,0,a\gamma\_0\right) \\ &- \operatorname{R}\_0\chi\left(\xi\sqrt{b\_1},\ \tau,d\_2,0,a\gamma\_0\right) - \operatorname{R}\_1\chi\left(\xi\sqrt{b\_1},\ \tau,d\_3,0,a\gamma\_0\right) - \operatorname{Gm}\_3\chi\left(\xi\sqrt{a\_2},\ \tau,0,0,d\_1\right) \\ &- \operatorname{R}\_2\chi\left(\xi\sqrt{a\_2},\ \tau,d,0,d\_1\right) - \operatorname{R}\_3\chi\left(\xi\sqrt{a\_2},\ \tau,d\_5,0,d\_1\right). \end{aligned} \tag{25}$$

$$\theta(\xi,\tau) = \chi\left(\xi\sqrt{b\_1},\tau,0,0,\mathcal{V}\_1\right) \tag{26}$$

Sh <sup>¼</sup> <sup>∂</sup><sup>Φ</sup> ∂ξ � � � � ξ¼0

Magnetite Molybdenum Disulphide Nanofluid of Grade Two: A Generalized Model with Caputo-Fabrizio Derivative

χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup> <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>i</sup>ω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

b1 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> � �,

, <sup>d</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>γ</sup><sup>1</sup> d0

M<sup>4</sup> <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

� � <sup>þ</sup> Gr3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

, <sup>d</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>1</sup> <sup>þ</sup> βγ0, Gr<sup>1</sup> <sup>¼</sup> Gr

� � � Gr3χ ξ ffiffiffiffi

1 2

Velocity field for regular grade-two fluid without mass transfer.

� � <sup>þ</sup> <sup>R</sup>1χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>d</sup><sup>0</sup> , <sup>M</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>γ<sup>1</sup>

which is quite identical to the solution of Sheikh et al. [19] for <sup>1</sup>

Mþγ<sup>0</sup>

Figure 2. Velocity profile for different values of β when M ¼ 1, Gr ¼ Gm ¼ 2, Pr ¼ 5, Sc ¼ 5 and ϕ ¼ 0:02.

� � � <sup>R</sup>1χ ξ ffiffiffiffi

For Gm ¼ ϕ ¼ 0 in Eq. (22) reduce to the following form:

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; �iω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � � <sup>þ</sup>

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup>

<sup>v</sup>ð Þ¼ <sup>ξ</sup>; <sup>τ</sup> <sup>1</sup> 2

χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

<sup>þ</sup> <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

� <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffi

where <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> Prγ0, M<sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>þγ<sup>0</sup>

M<sup>4</sup>

b1 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> : (32)

http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.72863

M<sup>4</sup> <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup> ; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

(33)

265

b1 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> � �

d0 ,

<sup>k</sup> ¼ R ¼ 0.

$$\Phi(\xi,\tau) = \chi(\xi\sqrt{a\_2}, \tau, 0, 0, \mathcal{V}\_1),\tag{27}$$

where

$$\overline{\chi}(\xi, q; a, b, c) = \frac{1}{q + a} \exp\left(-\xi \sqrt{\frac{q + b}{q + c}}\right),\tag{28}$$

$$\chi(\xi,\tau,a,b,c) = e^{-a\tau-\xi} - \frac{\xi\sqrt{b-c}}{2\sqrt{\pi}} \bigcap\_{0 \le 0}^{\tau} \left[ \frac{e^{a\tau}}{\sqrt{\pi}} \exp\left(a\tau - c\tau - \frac{\xi^2}{4u} - u\right) I\_1\left(2\sqrt{(b-c)ut}\right) dt du. \tag{29}$$

Skin friction, Nusselt number and Sherwood number.

Skin friction, Nusselt number and Sherwood number are defined as:

$$\mathcal{L}\_f = \frac{1}{\left(1 - \phi\right)^{2.5}} \frac{\partial v}{\partial \xi} + \beta \frac{\partial^2 v}{\partial \xi \partial \tau} \Big|\_{\xi = 0} \tag{30}$$

$$\text{Nu} = \frac{\partial \theta}{\partial \xi}\Big|\_{\xi=0} \tag{31}$$

Magnetite Molybdenum Disulphide Nanofluid of Grade Two: A Generalized Model with Caputo-Fabrizio Derivative http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.72863 265

$$Sh = \frac{\partial \mathcal{O}}{\partial \xi}\bigg|\_{\xi=0}.\tag{32}$$

<sup>k</sup> ¼ R ¼ 0.

Velocity field for regular grade-two fluid without mass transfer.

For Gm ¼ ϕ ¼ 0 in Eq. (22) reduce to the following form:

<sup>δ</sup><sup>2</sup> <sup>¼</sup> <sup>b</sup>1d<sup>1</sup> � <sup>M</sup>4γ<sup>1</sup> � <sup>M</sup>4M3, <sup>δ</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>4M3γ1, <sup>δ</sup><sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>2</sup>

Now, inverse Laplace transform of Eqs. (21), (23) and (24) is:

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; �iω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

> <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup> ; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup><sup>4</sup> ; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> � �

pð ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>; <sup>0</sup>; <sup>d</sup>1Þ � <sup>R</sup>3χ ξ ffiffiffiffi

M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

b1

a2

vð Þ¼ ξ; τ

where

1 2

264 Microfluidics and Nanofluidics

χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

<sup>þ</sup> Gr3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>þ</sup> <sup>R</sup>1χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>þ</sup> <sup>R</sup>2χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

� <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffi

� <sup>R</sup>2χ ξ ffiffiffiffi

χ ξð Þ¼ ; τ; a; b; c e

<sup>δ</sup><sup>7</sup> <sup>¼</sup> <sup>a</sup>2d<sup>1</sup> � <sup>M</sup>4γ<sup>1</sup> � <sup>M</sup>4M3, <sup>δ</sup><sup>8</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>7</sup>

þ 1 2

χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

M<sup>4</sup>

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>3; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> � �

<sup>þ</sup> <sup>R</sup>0χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>þ</sup> Gm3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

<sup>þ</sup> <sup>R</sup>3χ ξ ffiffiffiffiffiffiffi

b1

b1 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup> � �

> a2 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>γ</sup><sup>1</sup>

> > exp �ξ

<sup>τ</sup> <sup>p</sup> exp <sup>a</sup><sup>τ</sup> � <sup>c</sup><sup>τ</sup> � <sup>ξ</sup><sup>2</sup>

∂v <sup>∂</sup><sup>ξ</sup> <sup>þ</sup> <sup>β</sup> <sup>∂</sup><sup>2</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi q þ b q þ c

<sup>4</sup><sup>u</sup> � <sup>u</sup>

! s

� �

v ∂ξ∂τ � � � � ξ¼0

1 q þ a

� <sup>R</sup>1χ ξ ffiffiffiffi

a2 pð Þ ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>5; <sup>0</sup>; <sup>d</sup><sup>1</sup> ,

θ ξð Þ¼ ; <sup>τ</sup> χ ξ ffiffiffiffi

<sup>Φ</sup>ð Þ¼ <sup>ξ</sup>; <sup>τ</sup> χ ξ ffiffiffiffi

χ ξð Þ¼ ; q; a; b; c

ð ∞ ð τ

eaτ ffiffiffi

0

0

Cf <sup>¼</sup> <sup>1</sup>

<sup>1</sup> � <sup>ϕ</sup> � �<sup>2</sup>:<sup>5</sup>

Nu <sup>¼</sup> <sup>∂</sup><sup>θ</sup> ∂ξ � � � � ξ¼0

Skin friction, Nusselt number and Sherwood number are defined as:

�aτ�<sup>ξ</sup> � <sup>ξ</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi <sup>b</sup> � <sup>c</sup> <sup>p</sup> 2 ffiffiffi <sup>π</sup> <sup>p</sup>

Skin friction, Nusselt number and Sherwood number.

δ1

δ6

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>i</sup>ω; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>2; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup> ; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

<sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>d</sup>5; <sup>M</sup>3; <sup>d</sup><sup>1</sup> � �

, <sup>δ</sup><sup>5</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>3</sup> δ1

, <sup>δ</sup><sup>9</sup> <sup>¼</sup> <sup>δ</sup><sup>3</sup> δ6 :

, δ<sup>6</sup> ¼ a<sup>2</sup> � M4,

� Gr3χ ξ ffiffiffiffi

a2 pð Þ ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; <sup>d</sup><sup>1</sup>

, (26)

, (28)

ð Þ <sup>b</sup> � <sup>c</sup> ut <sup>p</sup> <sup>Þ</sup>dtdu:

, (30)

, (31)

<sup>I</sup><sup>1</sup> <sup>2</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi

� Gm3χ ξ ffiffiffiffi

� �, (27)

�

b1 <sup>p</sup> ; <sup>τ</sup>; <sup>0</sup>; <sup>0</sup>; αγ<sup>0</sup> � �

(25)

(29)

$$\begin{split} v(\xi,\tau) &= \frac{1}{2}\chi\left(\xi\sqrt{M\_{4}},\ \ \tau,-i\omega,\ \ M\_{3},\ \ d\_{1}\right) + \frac{1}{2}\chi\left(\xi\sqrt{M\_{4}},\ \tau,i\omega,\ M\_{3},d\_{1}\right) + Gr\chi\left(\xi\sqrt{M\_{4}},\ \tau,0\ \ M\_{3},d\_{1}\right) \\ &+ R\_{0}\chi\left(\xi\sqrt{M\_{4}},\ \tau,\ \ d\_{2},M\_{3},d\_{1}\right) + R\_{1}\chi\left(\xi\sqrt{M\_{4}},\ \tau,d\_{3},M\_{3},d\_{1}\right) - Gr\chi\left(\xi\sqrt{b\_{1}},\ \tau,0,0,\alpha\gamma\_{0}\right) \\ &- R\_{0}\chi\left(\xi\sqrt{b\_{1}},\ \tau,d\_{2},0,\alpha\gamma\_{0}\right) - R\_{1}\chi\left(\xi\sqrt{b\_{1}},\ \tau,d\_{3},0,\alpha\gamma\_{0}\right). \end{split} \tag{33}$$

where <sup>b</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> Prγ0, M<sup>4</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>þγ<sup>0</sup> <sup>d</sup><sup>0</sup> , <sup>M</sup><sup>3</sup> <sup>¼</sup> <sup>M</sup>γ<sup>1</sup> Mþγ<sup>0</sup> , <sup>d</sup><sup>1</sup> <sup>¼</sup> <sup>γ</sup><sup>1</sup> d0 , <sup>d</sup><sup>0</sup> <sup>¼</sup> <sup>1</sup> <sup>þ</sup> βγ0, Gr<sup>1</sup> <sup>¼</sup> Gr d0 , which is quite identical to the solution of Sheikh et al. [19] for <sup>1</sup>

Figure 2. Velocity profile for different values of β when M ¼ 1, Gr ¼ Gm ¼ 2, Pr ¼ 5, Sc ¼ 5 and ϕ ¼ 0:02.
