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$$H(\mathbf{X}) \cdot \left(1 - \boldsymbol{\beta}\right) - H(\mathbf{X}) \cdot \left(1 - \boldsymbol{\beta}''\right) = H(\mathbf{X}) \cdot \frac{T\_0}{T''}\_W \cdot \left(1 - \frac{T\_W''}{T\_W}\right) \ge 0$$

 **ȱȱȱȱȱȱȱǻ¢ǰȱǰȱǼȱȱȱȱ ȱȱ**#**ȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱȂȬȂȱ ȱ ȱȱǻȱȱȱȱȱǰȱ ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ**#**Ǽȱȱȱȱȱǻȱȱ**#**<sup>Ȟ</sup> ȱ ȱȱȱ** ,**Ȟ Ǽȱ¡ȱ¢ȱȱ£ȱȱȱȱȱȱȱǻŘǼȱȱǯ**

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$$\vec{\eta} \cdot \vec{\eta} = \left( \eta\_q \right)\_{q=1}^{q \ll N} = \left[ \left( \mathbf{s}\_{i'}, \mathbf{x}\_{i'}, \mathbf{s}\_{j'}, \mathbf{y}\_{1'}, \mathbf{D} \right)\_q \right]\_{q=1}^{q \ll N} \;/ \; \vec{\eta} \parallel \vec{\eta} \parallel \in \mathbf{N} \tag{39}$$

ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ*ȱ*ȱǽŗśǰȱŗşǰȱŘŗǾǰ

śȱȱȱȂȱȱȱDZȱǰȱȬǰȱ¢ȱǯ

$$s\_i \to \left(\mathbf{x}\_{k'} \, y\_{l'} D\right) \mathbf{s}\_{\rangle} \tag{40}$$

ȱȱȱȱȱǻǰȱǼȱǰȱ Ӈтǰȱȱȱ ȱȂȱ¢Dz


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ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǰȱ ȱ ȱ ¢ȱ *¡* ȱ ȱ ȱ ȱǻ ĺ *¡* ǼǾǰȱ ȱȱ ȱ 

$$x\_k \to y\_l\tag{41}$$

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$$s\_{i\_p} \xrightarrow{(x\_{k\_p}, y\_{l\_p}, D\_p)} s\_{j\_p} \text{ } \text{ further on} \quad s\_{j\_p} = s\_{i\_{p+1}} \tag{42}$$

ǻȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ Ǽǰȱ¢ȱ ȱȱ ǻ*Ύ* <sup>ĺ</sup> Ǽȱȱȱȱǻȱȱȱȱ ƽ ŗȱǰȱ*ȱȱ* ǰȱȱȱȱ ƽ ȱȱ  ȱȂȱ¢Ǽǯȱ¢ȱȱȱȱ *ȱ*ȱȱȱȱǰȱȱ ȱȱȱǰ ǃŗǰ

$$\mathbf{s}\_{i\_p} \to \left( \mathbf{x}\_{k\_p \text{ } \prime} \mathbf{y}\_{l\_p \text{ } \prime}, \mathbf{D}\_p \right) \mathbf{s}\_{\rangle\_p \text{ } \prime \text{ } s\_{\rangle\_p} = \mathbf{s}\_{i\_{p+1}} \tag{43}$$

¢ȱȱ ¢ȱȱ*ȱ*ȱȱȱ <sup>ǻ</sup>*¡* ǰ*¢* ǰǼȱǰȱ¢ǰȱȱȱȱȱ ȱǻ ǰ*¡* ǰ ǰ*¢* ǰǼȱȱȱȱȱǯȱȱȱȱ ȱȱ¢ȱȱȱǻȱȱȱǼ

$$\mathbf{S}\_{i\_p} \rightarrow \left( \mathbf{s}\_{i\_p}, \mathbf{x}\_{k\_p}, \mathbf{s}\_{i\_p}, \mathbf{y}\_{i\_p}, \mathbf{D}\_p \right) \mathbf{S}\_{i\_p}, \mathbf{S}\_{i\_p} = \mathbf{S}\_{i\_{p \times 1}} \tag{44}$$

ȱȱȱȱȱ ǃŗȱȱȱ ȱȂȱ¢ǯȱǰȱȱȱȱȱȱȱ¢ ȱȱȱȱ ȱȱȱ <sup>ջ</sup> <sup>ǯ</sup>

*ȱȱȱȱ*<sup>Ŝ</sup> *ǻȱȱȱȱȱȱȱȱǼǰȱȱȱ* 

$$\left[ \left( \mathbf{s}\_{i\_1}, \mathbf{x}\_{k\_1}, \mathbf{s}\_{j\_1}, y\_{l\_1}, D\_1 \right), \dots \left( \mathbf{s}\_{i\_p}, \mathbf{x}\_{k\_p}, \mathbf{s}\_{j\_p}, y\_{l\_p}, D\_p \right) \right]\_{p=l} \tag{45}$$

*ȱȱȱȱ¡ȱȱȱȱȱȱǽ ȱȱȱ* ջ *ȱȱȱȱȱǻŚŘǼȱ ǻŚŚǼǾȱȱȱȱǽŗşǰȱŘŗǾȱȱȱ*

$$\mathbf{n} \le \mathbf{l} \le \mathbf{2}\mathbf{n} \tag{46}$$

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$$\begin{aligned} \mathbf{X} \triangleq \mathbf{X}\_{p^\*} \ Y \triangleq \mathbf{Y}\_p \colon \mathbf{X} \mid \mathbf{Y} \triangleq \mathbf{X}\_p \mid \mathbf{Y}\_{p^\*} \mathbf{Y} \mid \mathbf{X} \triangleq \mathbf{Y}\_p \mid \mathbf{X}\_p \colon \mathbf{Y}\_p = \mathbf{X}\_{p+1} \\\ \mathbf{X}\_p \mid \mathbf{X}\_{p+1} \triangleq \mathbf{X}\_p \sqsubseteq \mathbf{X}\_p \mathbf{X}\_{p+1} \prime \mathbf{X}\_{p+1} \mid \mathbf{X}\_p = \mathbf{X}\_{p+1} \sqsubseteq \left(\mathbf{X}\_p \mathbf{X}\_{p+1}\right)^{-1} \end{aligned} \tag{47}$$

ȱ¢ȱȱȱȱȱ ȱȂȱ¢ȱȱ ȱȱǻ*Η* ĺ ǰǰ*Ε* ĺ ǼȱȬȱ*ȱȱȱ*ȱȬ ȱȱ**ȱ** *Ύ* <sup>ĺ</sup> ƽ ǻ*Η* ĺ ǰǰ*Ε* ĺ Ǽ ƽŗ ǯǯǯ ǰȱ**ȱȱȱȱ** Dz

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$$\mathbb{P}\left(\vec{\sigma}\_{p'}, \mathbf{s}\_{p'}, \vec{\rho}\_p\right) \in \mathbf{T}^\* \times \mathbf{S} \times \mathbf{T}^\*; \ p = 1, \ \vec{\sigma}\_1 = \vec{\varepsilon} \quad a \ \vec{\rho}\_1 = \vec{\xi}'\_{\prime} \ s\_p = \mathbf{s}\_0 \tag{48}$$

**Ȋ** ȱ ȱȱȱ¢ȱȱȱ£ȱ¢ȱȱ

$$\left[\vec{\sigma}\_{p\ast1'}s\_{p\ast)'}\vec{\rho}\_{p\ast1}\right] \in \mathbf{T}^{\ast} \times \mathbf{S} \times \mathbf{T}^{\ast} \tag{49}$$

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$$\begin{aligned} &H(\mathbf{X}\_p) - H\Big[\mathbf{X}\_p \mid \mathbf{X}\_{p+1}\Big] = H(\mathbf{X}\_{p+1}) - H\Big[\mathbf{X}\_{p+1} \mid \mathbf{X}\_p\Big], \ p \ge 1\\ &H(\mathbf{X}\_p) = H\Big(\mathbf{X}\_p \mid \mathbf{X}\_{p+1}\Big); \ \mathbf{X}\_p = \mathbf{X}\_p \subseteq \mathbf{X}\_{p+1}, \ \mathbf{X}\_{p+1} = \mathcal{L} \end{aligned} \tag{51}$$

$$\begin{aligned} &H(\mathbf{X}\_{p+1}) = H\Big(\mathbf{X}\_{p+1} \mid \mathbf{X}\_p\Big), \ \Big[H\Big[\mathbf{X}\_{p+1} \mid \mathbf{X}\_p\Big] = 0\Big] \end{aligned} \tag{52}$$

*ȱ ¢ȱȱȱȂȂȱȱ ȱȂȱȱ¢ȱȱȱȂȱȱȱ ǰ Ȭȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ¢ȱȱȱȱ¢ȱ ȱ ǯ*

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$$\text{HALT}\_{\text{TM}} = \left( \text{HALT}\_{\text{TM}}^{\text{Accopt}} \cup \text{HALT}\_{\text{TM}}^{\text{Raject}} \right) \tag{52}$$

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$$\text{HALT}\_{\text{M}\_{\text{1}}}^{\text{\text{\textquotedblleft}copt}} \Leftarrow \text{HALT}\_{\text{TM}}, \qquad \text{HALT}\_{\text{M}\_{\text{1}}}^{\text{\textquotedblright}} \Leftarrow \text{LOOP}\_{\text{TM}}^{\text{\textquotedblleft}oct} \tag{53}$$


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$$\begin{aligned} \text{HALT}\_{\text{M}\_2} & \leftrightharpoons \text{LOOP}^{\text{v}}\_{\text{TM}} \left[ \Rightarrow \text{HALT}^{\text{Avọ}}\_{\text{M}\_1} \right] \\ \text{LLOOP}^{\text{v}}\_{\text{M}\_2} & \leftrightharpoons \text{HALT}^{\text{Avọ}}\_{\text{TM}} \right] \end{aligned} \tag{54}$$


$$\begin{aligned} \text{HALT}\_{\text{M}\_3} &= \text{HALT}\_{\text{M}\_2} \subset \text{LOOP}\_{\text{TM}}^\circ \left[ \Rightarrow \text{HALT}\_{\text{M}\_1}^{\text{R\text{\textquotedblleft}ct}} \right] \\ \text{LOOP}\_{\text{M}\_3}^\circ &= \text{LOOP}\_{\text{M}\_2}^\circ \iff \text{HALT}\_{\text{TM}} \left[ \Rightarrow \text{HALT}\_{\text{M}\_1}^{\text{Accpt}} \right] \end{aligned} \tag{55}$$

**Ȋ** ǰȱ ȱ ȱ ȱ <sup>ř</sup> Ǔ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ<sup>ř</sup> ĺǼǰȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ<sup>ř</sup> ĺǼǓǻ ĺ Ǽǰȱ

$$
\begin{aligned}
\left[\textit{HALT}\_{\textit{TM}} \Leftarrow \textit{LOOP}\_{\textit{TM}}^{\circ}\right] \land & \left[\textit{LOOP}\_{\textit{TM}}^{\circ} \Leftarrow \textit{HALT}\_{\textit{TM}}\right] \\
& \equiv \\
\textit{HALT}\_{\textit{TM}} & \Leftrightarrow \textit{LOOP}\_{\textit{TM}}^{\circ}
\end{aligned}
\tag{56}
$$

ȱȱǻśŜǼȱȱȱǯȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱ ȱ ȱ ¢ȱ ȱ Ȭȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ȱ ǻ ǰŗǰŘǰřǼǰȱǰȱ¢ǰȱȱȱȱȱȱȱǻ ǰřǼǰ

$$\left(\underline{\underline{TM}}\_{\prime}, \underline{M}\_{\circ} = \underline{\underline{TM}}\right) \tag{57}$$

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$$\left(\text{TM}, \text{TM}, \dots, \text{TM}, \dots\right) \triangleq \left(\text{TM}\_{\text{M}\_p}\right)\_{p=1}^{\circ}$$

$$\left[\text{d}(\text{TM}), \text{d}(\text{TM}), \dots, \text{d}(\text{TM}), \dots\right] \triangleq \left[\text{d}(\text{TM})\right]\_{\text{M}\_p}^{\circ} \qquad$$

$$\left[\text{d}\mathbf{L}\mathbf{L}\mathbf{T}\_{\text{M}'}^{\circ} \text{ }\text{H}\mathbf{L}\mathbf{T}\_{\text{M}'}^{\circ} \dots \text{ }\text{H}\mathbf{L}\mathbf{T}\_{\text{M}'}^{\circ} \dots \right] \triangleq \left[\text{d}\mathbf{L}\mathbf{L}\mathbf{T}\_{\text{M}}^{\circ}\right]\_{\text{M}\_p}^{\circ} \qquad\qquad\qquad\qquad\text{(58)}$$

$$\left[\text{L}\mathbf{O}\mathbf{O}\mathbf{P}\_{\text{M}'}^{\circ} \text{ }\text{LO}\mathbf{O}\mathbf{P}\_{\text{M}'}^{\circ} \dots \text{ }\text{LO}\mathbf{O}\mathbf{P}\_{\text{M}'}^{\circ} \dots \right] \triangleq \left[\text{d}\mathbf{L}\mathbf{O}\mathbf{P}\_{\text{M}}^{\circ}\right]\_{\text{M}\_p}^{\circ} \qquad\qquad\qquad\qquad\text{(59)}$$

ȱǰȱ ȱȱ*Ȭ¡*ȱȱȱǻśŜǼȱȱǻśŝǼȱǽ ȱ¢ȱ ȱȱ ǻǼ¢ȱǾǰȱȱȱ¢ȱȱȱȱȱ ȱǰȱȱȱ Ȭȱ *Β* <sup>ĺ</sup> Ǔ ǻ ĺ Ǽ ǯȱǰȱ ȱȱȬȱǰȱȱȂȂȱȱ Ȭȱǻ <sup>ǰ</sup><sup>ř</sup> <sup>Ǔ</sup> Ǽǔ''<sup>Ȟ</sup> ǯ ŗŘ

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$$\mathbf{B}\overrightarrow{\mathbf{I}}\mathbf{B}\mathbf{s}\_{[\cdot]}\overrightarrow{\mathbf{B}}\mathbf{I}\mathbf{B} = \mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{S}\mathbf{s}\_{[\cdot]}\mathbf{B}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{I}\mathbf{I}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}\mathbf{B}$$

$$\in \left(\vec{\sigma}, \mathbf{s}\_{[\cdot]}, \vec{\rho}\right)$$

*ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱȱ ǰȱǰȱȱȱ¢ȱȱȱ¢ǰȱȱ¢ǰȱȱȱ¢ǯȱȱǰȱ¢ ȱȱȱȱȱ¢ǯ*

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$$\begin{aligned} H\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}}\right) - H\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}} \mid \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p+1}}\right) &= H\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p+1}}\right) - H\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p+1}} \mid \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}}\right) = 0\\ \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}} &\triangleq \left(\mathbf{X}\_{p+1}, \mathbf{X}\_{p+1}, \dots, \mathbf{X}\_{p}\right) \\ \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p+1}} &\triangleq \left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}}, \mathbf{X}\_{p+1}, \dots, \mathbf{X}\_{2p+2-p\*}\right) = \left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}} \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p}}\right) \end{aligned} \tag{59}$$

ȱ ȱȱ ȱǽȱȱȱ ȱȱǻŘŘǼǰȱǻŘřǼDzȱȱȱȱȱŝǾǯ

$$\begin{aligned} \overline{\mathbf{X}\_p} - \left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} \right) &= \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} - \left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}}^{-1} \right) = \mathcal{E} \\\ \overline{\mathbf{X}\_p} = \left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} \right) &= \left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}}^{-1} \right) \\\ H\left( \overline{\mathbf{X}\_p} \right) = \left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} \right) &= H\left( \overline{\mathbf{X}\_p} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_{p+1}}^{-1} \right) = H\left( \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} \subseteq \overline{\mathbf{X}\_p} \right) = 0 \\\ \left[ H\left( \overline{\mathbf{X}\_{p+1}} \right) = 0 \right] &\Longleftrightarrow \left[ Pr\left( \overline{\mathbf{X}\_p} \right) = Pr\left( \overline{\mathbf{X}\_p} \overline{\mathbf{X}\_p} \right) = Pr\left( \overline{\left[ \mathbf{X}\_p \right]}^{-1} \right) = 1 \right] \end{aligned} \tag{60}$$

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$$\left[p\|\|q\|\mathbf{s}\_{\boldsymbol{\iota}}\mathbf{x}\_{\boldsymbol{\iota}}\mathbf{s}\_{\boldsymbol{\jmath}}\mathbf{y}\_{\boldsymbol{\iota}}\mathbf{D}\|\left\|\bar{\boldsymbol{\sigma}}\mathbf{s}\_{\boldsymbol{\iota}\cdot\mathbf{J}}\bar{\boldsymbol{\rho}}\right\|\left\|\mathbf{C}\right\|\|\left\|\boldsymbol{\varepsilon}\right\|\left\|\boldsymbol{\varepsilon}\right\|\left\|\boldsymbol{\sigma}\right\|\left\|\bar{\boldsymbol{\sigma}}\mathbf{s}\_{\boldsymbol{\iota}\cdot\mathbf{J}}\bar{\boldsymbol{\rho}}\right\|m\right\|\_{p=1}^{p=\boldsymbol{\iota},\boldsymbol{P}}\tag{61}$$

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$$\left[\mathfrak{q}\|\left|s\_{\boldsymbol{\iota}}\mathbf{x}\_{\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{s}\_{\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{y}\_{\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{D}\right|\big(\mathfrak{e}\left[\mathfrak{o}\,\boldsymbol{\sigma}\_{\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{s}\_{\boldsymbol{\iota}\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{\varrho}\,\boldsymbol{\varrho}\right]\big\|\,\boldsymbol{g}\,\|\,\boldsymbol{\bar{\sigma}}\,\boldsymbol{s}\_{\boldsymbol{\iota}\boldsymbol{\iota}}\,\boldsymbol{\bar{\varrho}}\,\boldsymbol{\varrho}\,\|\,\boldsymbol{m}\right] \tag{62}$$

ǰȱ ȱȱȱȱǻȱȱǼȱȱ*ȱ* ȱȱȱȱȱȱ ȱȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱȱǽȱȱȱ¢ȱȱ ȱǻȱȱȱ¡ȱȱǼǾǯȱȱȱȱȱȱ ǰȱȱǰ

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$$
\Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} \triangleq p\_{\lfloor \cdot \rfloor} - p\_{\lfloor \cdot \rfloor} - 1 \ge 0, \qquad \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} \triangleq p\_{\lfloor \cdot \rfloor} - p\_{\lfloor \cdot \rfloor} - 1 \ge 0 \tag{63}
$$

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$$\left[\mathfrak{q}\|\left\|\mathbf{s}\_{i}\mathbf{x}\_{k}\mathbf{s}\_{j}\mathbf{y}\_{l}\mathbf{D}\right\|\left(\varepsilon\left\|\mathbf{\sigma}\_{\cdot}\mathbf{s}\_{\left\|\cdot\right\|},\mathbf{\rho}\right\|\varepsilon\right)\right\|\left\|\mathbf{g}\right\|\left\|\bar{\mathbf{\sigma}}\mathbf{s}\_{\left\|\cdot\right\|}\bar{\mathbf{\rho}}\right\|\left\|\mathbf{m}\right\|\right]$$

䘬<sup>ś</sup> ȱ ȱȱȱȱ**ȱ¡Ȭȱ**ȱȱȱȱ ȱȱǻ ¢ȱ¢ȱ*£*ȱȱǼȱȱ**ȱȱȱ¢ȱȱ** 

$$\begin{aligned} \text{(1)} \qquad & z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}, \ldots, z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}, \ p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = z\_{\lfloor \cdot \rfloor} \le z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}, \ m = 1 = m\_{\lfloor \cdot \rfloor} \\ \text{(2)} \qquad & z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}, \ldots, z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, z\_{\lfloor \cdot \rfloor}^{-} > z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}, z\_{\lfloor \cdot \rfloor}^{-} \ge z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, m = 2 \\ \text{(3)} \qquad & z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, \ldots, z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, z\_{\lfloor \cdot \rfloor}^{-} > z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-} \ge z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, m = 3 \\ & \ldots, \ldots, \ldots, \ldots, \ldots, \ldots, \ldots, \ldots, \ldots \\ \text{(4)} \qquad & z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, \ldots, z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-} \ge z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-} \ge z\_{\lfloor \cdot \rfloor'}^{-}, m = \cdots = m\_{\lfloor \cdot \rfloor} \end{aligned} \tag{64}$$

#### **ǻȱȱȱȱȱȱ¢Ǽ**ǯ ŗś

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$$
\Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = m\_{\lfloor \cdot \rfloor} - m\_{\lfloor \cdot \rfloor} + 1 \le \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor \prime} \cdot \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = m\_{\lfloor \cdot \rfloor} - m\_{\lfloor \cdot \rfloor} + 1 \le \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor}.\tag{65}
$$

*ȱ*ȱȬȱ ȱȱ ȱ䘬<sup>Ř</sup> ǰȱ Ș ƽ ǯǯǯ ȱDzȱ䘬<sup>ŗ</sup> ȱ ȱ <sup>ջ</sup>ȱȱ¡ǰȱDZ ƽ Ƹ ŗȱDz

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$$\left\lfloor q \left\| G \right\| \left\| m \right\| \right\rfloor \tag{66}$$

ȱ ȱȱ¢ǰȱȱȱȱȱȱȱȱȱȱǻȱ¢ȱȱ Ǽ

$$\mathcal{S}\_{q^\*} \to \mathcal{G}\_m \mathcal{S}\_{q\_m} \tag{67}$$

$$q^\* \in \{0\} \cup \{1, \dots, |\vec{\eta} \,|\, \Big|\, \begin{array}{c} q\_m \in \{1, \dots, |\vec{\eta} \,|\, \vec{\eta} \,\Big|\, \begin{array}{c} \eta = m\_{\lfloor \cdot \rfloor}, \dots, m\_{\lfloor \cdot \rfloor} - 1 \end{array} \\ \end{array}} \tag{67}$$

 ȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱȱȱ**<sup>ȝ</sup>** ȱȱȱ¢ǰ

$$\mathbf{S}\_{\*} = \{\mathbf{S}\_{0}\} \cup \{\mathbf{S}\_{q\_{m}}\}\_{m=m\_{\left[\cdot,\cdot\right]}}^{m\_{\left[\cdot,\cdot\right]}-1} \text{card } \mathbf{S}\_{\*} = \boldsymbol{\eta}, \quad \mathbf{T}' = \{\mathbf{G}\_{q\_{m}}\}\_{m=m\_{\left[\cdot,\cdot\right]}}^{m\_{\left[\cdot,\cdot\right]}-1} \tag{68}$$

ȱȱȱȱ¢ȱŖӇǯ ŗŜ

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$$\begin{array}{ll} \mathcal{S}\_{0} & \to & \mathcal{G}\_{\pi\_{\left[\cdot\right]}} \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]}} \\ \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]}} & \to & \mathcal{G}\_{\pi\_{\left[\cdot\right]} \cdot 1} \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]} \cdot 1} \\ \dots & \dots & \dots \\ \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]} \cdot 2} & \to & \mathcal{G}\_{\pi\_{\left[\cdot\right]} \cdot 1} \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]} \cdot 1} \\ \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]} \cdot 2} & \to & \vec{\mathcal{E}} \, \mathcal{S}\_{0'} \left[ \text{ or } \, \mathcal{S}\_{\boldsymbol{q}\_{\left[\cdot\right]} \cdot 1} \to \mathcal{E} \, \mathcal{S}\_{\boldsymbol{H} \boldsymbol{\Lambda} \text{T} \prime} \in \mathbf{S} \right]} \\ \end{array} \tag{69}$$

 ȱȱȱ ջ Ԕ*£* ջ ǰdzǰ*£* ջջ ǰ ջ ƸŗԔ*£* ջ <sup>ջ</sup> ǰdzǰ*£* ջջ <sup>ջ</sup> ǰdz ջջ Ԕ*£* ջ ջǯǯǯջ ǰdzǰ*£* ջջ <sup>ջ</sup>ǯǯǯ<sup>ջ</sup> ȱȱǯ

ȱȱȱȱ¢ȱȱȱ*ȱȱ ȱȱȱȱȱ ȱȱȱȱ¢*ȱǻȱȱȱȱȱȱȱ Ǽǯȱ¢ȱ ȱ ȱȱȱȱȱȱȱȱ

$$\left[ \left( \vec{\sigma}\_{m'} \, \mathrm{s}\_{m'} \vec{\sigma}\_m \right)\_{n=n\_{\{\cdot\}}}^{n\_{\{\cdot\cdot\}}^{-1}} \right]^{\*} = \left[ \overrightarrow{\mathbf{X}}^{\*} \right]^{\*} \left[ \triangleq \left[ \, \mathrm{d}(TM^{\*}) \right]^{\*} \right] \tag{70}$$

**ȱȱȱ***ȱ***ȱȱȱȱ ȱȱȱȱ¢ȱȱȱ ȱȱȱȱȱȱ**ȱȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱȱȱ ǰȱǽǂ ǀ Řջ ǯ

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$$\begin{aligned} \mathbf{H}\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_p}\right) - H\left(\overrightarrow{\mathbf{X}\_p} \mid \overrightarrow{\mathbf{X}\_{p+1}}\right) &= \mathbf{0} \quad \text{where} \\\overleftarrow{\mathbf{X}\_p} = \left(\mathbf{X}\_{p+1}, \dots, \mathbf{X}\_{2p+2-p\*}\right) &= \left(\mathbf{X}\_{p\*}, \dots, \mathbf{X}\_p\right) \end{aligned} \tag{71}$$

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$$H(\overrightarrow{X\_p}) - H(\overrightarrow{X\_p} \mid \overrightarrow{X\_{p+1}}) = H(\overrightarrow{Y\_p}) > 0,\\ \overrightarrow{X\_{\lfloor \cdot \rfloor}} \triangleq X\_{p\_{\star'}} \dots X\_{\lfloor \cdot \rfloor \prime} \ p^\circ \geq 1 \tag{72}$$

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$$\begin{aligned} \vec{\eta} &= \begin{pmatrix} \eta\_{1'} & \eta\_{2'} & \eta\_{3'} & \eta\_{4} \end{pmatrix}; \\ \eta\_1 &= \begin{pmatrix} s\_{0'} & I \ \ s\_{0'} & I \ \ R \end{pmatrix} \\ \eta\_2 &= \begin{pmatrix} s\_{0'} & B \ \ s\_{1'} & I \ \ L \end{pmatrix} \\ \eta\_3 &= \begin{pmatrix} s\_{1'} & I \ \ s\_{1'} & I \ \ L \end{pmatrix} \\ \eta\_4 &= \begin{pmatrix} s\_{1'} & B \ \ s\_{0'} & B \ \ R \end{pmatrix} \end{aligned} \tag{73}$$

ȱȱȱȱȱȱ*Β* ĺ

$$\vec{\xi} = \begin{bmatrix} \text{III} \dots \text{I} \end{bmatrix} \text{ resp. } \mathcal{B} \begin{bmatrix} \text{III} \dots \text{I} \end{bmatrix} \mathcal{B} \text{ } \text{resp. } \mathcal{B} \begin{bmatrix} \text{III} \dots \text{I} \end{bmatrix} \mathbf{B} \tag{74}$$

ȱ ĺ ȱ¢ǯȱȱȱȱ*Β* <sup>ĺ</sup> ƽ ȱȱǯȱȱȱȱǯȱŗȱȱȱȱ

$$\begin{aligned} \text{If } p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 1, \; p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 13, \; p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 25, \; m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 1, \; m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 7 \text{ and thus} \\ \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 11, \; \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 13, \; \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 15, \; \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \dots = 7 \end{aligned} \tag{75}$$

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$$\begin{aligned} S\_0 &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{IB}} \, \overline{\mathbf{S}}\_1 \\ S\_1 &\rightarrow \overline{\mathbf{BI}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{IB}} \, \overline{\mathbf{S}}\_{2345} \\ S\_{2345} &\rightarrow \overline{\mathbf{BI}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{B}} \, \overline{\mathbf{S}}\_6 \\ S\_6 &\rightarrow \overline{\mathbf{BI}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{IB}} \, \overline{\mathbf{S}}\_{78910} \\ S\_{78910} &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{IB}} \, \overline{\mathbf{S}}\_{11} \\ S\_{11} &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{BI}} \, \overline{\mathbf{S}}\_{12} \\ S\_{12} &\rightarrow \overline{\mathbf{e}} \, \overline{\mathbf{S}}\_0 \end{aligned} \tag{76}$$

ȱȱȱ ȱȱȱӒȱȱȱȱ¢ǰ

$$\mathbf{S}\_\* = \begin{Bmatrix} \mathbf{S}\_0 & \mathbf{S}\_1 & \mathbf{S}\_{2345} & \mathbf{S}\_6 & \mathbf{S}\_{78910} & \mathbf{S}\_{11} \mathbf{S}\_{12} \end{Bmatrix} \\ \text{ } \text{card } \mathbf{S}\_\* = \mathbf{7} \tag{77}$$

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$$
\left[\overline{X}\right]^\ast = \left[\overline{\mathbf{B}}\,\mathbf{s}\_0\,\overline{\mathbf{I}}\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{I}}\,\mathbf{s}\_0\,\overline{\mathbf{I}}\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{J}}\,\overline{\mathbf{s}}\_0\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{J}}\,\overline{\mathbf{s}}\_1\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_1\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_1\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_1\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\right]^\ast = \left[\mathbf{d}(TM^\ast)\right]^\ast \tag{78}
$$

ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱ

$$S\_{12} \rightarrow \varepsilon \, S\_{\text{HALT}} \; \prime \; S\_{\text{HALT}} \; \notin \textbf{S}\_{\text{\*}} \tag{79}$$

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$$\begin{aligned} \text{card } \mathbf{S}\_\* \le l \le 2 \cdot (\text{card } \mathbf{S}\_\*), \quad & \text{card } \mathbf{S}\_\* = 7\\ 7 \le 12 \le 2 \cdot 7 \end{aligned} \tag{80}$$

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$$\begin{aligned} \vec{\eta} &= \begin{pmatrix} \eta\_{1'} & \eta\_{2'} & \eta\_{3'} & \eta\_{4} \end{pmatrix} \\ \eta\_1 &= \begin{pmatrix} \mathbf{s}\_{0'} & I \ \mathbf{s}\_{0'} & I \ \mathbf{R} \end{pmatrix} \\ \eta\_2 &= \begin{pmatrix} \mathbf{s}\_{0'} & \mathbf{B} \ \mathbf{s}\_{1'} & I \ \mathbf{L} \end{pmatrix} \\ \eta\_3 &= \begin{pmatrix} \mathbf{s}\_{1'} & I \ \mathbf{s}\_{1'} & I \ \mathbf{L} \end{pmatrix} \\ \eta\_4 &= \begin{pmatrix} \mathbf{s}\_{1'} & \mathbf{B} \ \mathbf{s}\_{0'} & \mathbf{B} \ \mathbf{R} \end{pmatrix} \end{aligned} \tag{81}$$

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$$\begin{array}{c} \begin{bmatrix} \text{III} \ \end{bmatrix} \text{resp. } \mathcal{B}\begin{bmatrix} \text{III} \ \dots \text{I} \end{bmatrix} \mathcal{B}, \dots, \mathcal{B}\begin{bmatrix} \text{III} \ \dots \text{I} \dots \end{bmatrix} \mathcal{B}, \dots \end{array} \tag{82}$$

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$$\begin{aligned} &p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 1, \; p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 13, \; p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 27, \; m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 1, \; m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 7 \quad \text{and thus} \\ &\Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 11, \; \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 13, \; \Delta p\_{\lfloor \cdot \rfloor} = 15, \; \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \Delta m\_{\lfloor \cdot \rfloor} = \dots = 7 \end{aligned} \tag{83}$$

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$$\begin{aligned} S\_0 &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{I} \, \overline{\mathbf{B}}} \, S\_1 \\ S\_1 &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{I} \, \overline{\mathbf{B}}} \, S\_{2345} \\ S\_{2345} &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, \mathbf{I} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{B}} \, S\_6 \\ S\_6 &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, \overline{\mathbf{I}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{B}} \, S\_{78910} \\ S\_{78910} &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{I} \, \overline{\mathbf{B}}} \, S\_{11} \\ S\_{11} &\rightarrow \overline{\mathbf{B}} \, s\_1 \, \overline{\mathbf{B}} \, \overline{\mathbf{B}} \, S\_{12} \\ S\_{12} &\rightarrow \overline{\varepsilon} \, S\_0 \end{aligned} \tag{84}$$

 ǰȱȱȱȱǻŜŜǼȬǻŜşǼǰȱŗԔ<sup>ŗ</sup> ǰȱŘԔ<sup>Ř</sup> ǰȱŜԔ<sup>ř</sup> ǰȱŝԔ<sup>Ś</sup> ǰȱŗŗԔ<sup>ś</sup> ǰȱŗŘ <sup>ƽ</sup><sup>Ŝ</sup> ǯ ȱȱȱ ȱȱȱȱȱ¢

$$\mathbf{S}\_\* = \{ \mathbf{S}\_0 \; \; S\_1 \; \; S\_{2345} \; \; S\_6 \; \; S\_{78910} \; \; S\_{11} \; \; S\_{12} \}, \; \text{card } \mathbf{S}\_\* = \mathbf{7} \tag{85}$$

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$$
\left[\overline{\mathbf{X}}^{\ast}\right]^{\ast} = \left[\overline{\mathbf{B}}\,\mathbf{s}\_{0}\,\overline{\mathbf{I}\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{I}}\,\mathbf{s}\_{0}\,\overline{\mathbf{I}\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{J}}\,\overline{\mathbf{s}}\_{0}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{J}}\,\overline{\mathbf{s}}\_{1}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_{1}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_{1}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{s}}\_{1}\,\overline{\mathbf{B}}\,\overline{\mathbf{B}}\right]^{\ast} = \left[\mathbf{d}(TM^{\prime})\right]^{\ast}\tag{86}
$$

ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱȱ ȱ

$$S\_{12} \to \varepsilon \, S\_{\text{HALT}} \, \cdot \, \, S\_{\text{HALT}} \notin \mathbf{S}\_\* \tag{87}$$

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$$\begin{aligned} \text{card } \mathbf{S}\_\* &\le l < 2 \cdot (\text{card } \mathbf{S}\_\*), \quad \text{card } \mathbf{S}\_\* = 7\\ 7 &\le 12 < 2 \cdot 7 \end{aligned} \tag{88}$$

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Gerneral

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−→IB <sup>2</sup>

−→<sup>B</sup> <sup>3</sup>

−→IB <sup>4</sup>

−→IB <sup>5</sup>

−−−→ BIB <sup>6</sup>

−→IB <sup>7</sup>, <sup>1</sup>

−→IB <sup>2</sup>

−→<sup>B</sup> <sup>3</sup>

−→IB <sup>4</sup>

−→IB <sup>5</sup>

−−−→ BIB <sup>6</sup>

−→IB <sup>7</sup>, <sup>1</sup>

p q Instruction Configuration C Config. Type g Config. Type m ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ G ♯♯♯♯

 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R εB[II s<sup>0</sup> III]Bε 3 εB[I s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R εB[III s<sup>0</sup> II]Bε 4 εB[I s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R εB[IIII s<sup>0</sup> I]Bε 5 εB[I s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2

 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L εB[III s<sup>1</sup> III]ε 8 εB[I s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L εB[II s<sup>1</sup> IIII]ε 9 εB[I s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L εB[I s<sup>1</sup> IIIII]ε 10 εB[I s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4

 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R ε[BII s<sup>0</sup> IIII]Bε 3′ ε[BI s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R ε[BIII s<sup>0</sup> III]Bε 4′ ε[BI s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R ε[BIIII s<sup>0</sup> II]Bε 5′ ε[BI s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2 1 s<sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R ε[BIIIII s<sup>0</sup> I]Bε 5′ ε[BI s<sup>0</sup> I]Bε 2 ..... 2

 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L ε[BIIII s<sup>1</sup> III]ε 8′ ε[BI s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L ε[BIII s<sup>1</sup> IIII]ε 9′ ε[BI s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L ε[BII s<sup>1</sup> IIIII]ε 10′ ε[BI s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4 3 s<sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L ε[BI s<sup>1</sup> IIIIII]ε 10′ ε[BI s<sup>1</sup> I]ε 4 ..... 4

<sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R εB[s<sup>0</sup> IIIII]Bε <sup>1</sup> <sup>ε</sup>B[s<sup>0</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

7KHUPRG\QDPLFV

<sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R εB[I s<sup>0</sup> IIII]Bε <sup>2</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>2</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>2</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> B s<sup>1</sup> I L εB[IIIII s<sup>0</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>6</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>3</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L εB[IIII s<sup>1</sup> II]<sup>ε</sup> <sup>7</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> <sup>I</sup>]<sup>ε</sup> <sup>4</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L εB[s<sup>1</sup> IIIIII]<sup>ε</sup> <sup>11</sup> <sup>ε</sup>B[s<sup>1</sup> <sup>I</sup>]<sup>ε</sup> <sup>5</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> B s<sup>0</sup> B R <sup>ε</sup>[s<sup>1</sup> BIIIIII]<sup>ε</sup> <sup>12</sup> <sup>ε</sup>[s<sup>1</sup> BI]<sup>ε</sup> <sup>6</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R <sup>ε</sup>[B s<sup>0</sup> IIIIII]Bε <sup>1</sup>′ <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R <sup>ε</sup>[BI s<sup>0</sup> IIIII]Bε <sup>2</sup>′ <sup>ε</sup>[BI <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>2</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>2</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> B s<sup>1</sup> I L <sup>ε</sup>[BIIIIII s<sup>0</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>6</sup>′ <sup>ε</sup>[BI <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>3</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L <sup>ε</sup>[BIIIII s<sup>1</sup> II]<sup>ε</sup> <sup>7</sup>′ <sup>ε</sup>[BI <sup>s</sup><sup>1</sup> <sup>I</sup>]<sup>ε</sup> <sup>4</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I L <sup>ε</sup>[B s<sup>1</sup> IIIIIII]<sup>ε</sup> <sup>11</sup>′ <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> <sup>I</sup>]<sup>ε</sup> <sup>5</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> B s<sup>0</sup> B R <sup>ε</sup>[s<sup>1</sup> BIIIIIII]<sup>ε</sup> <sup>12</sup>′ <sup>ε</sup>[s<sup>1</sup> BI]<sup>ε</sup> <sup>6</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>0</sup> I R <sup>ε</sup>[B s<sup>0</sup> IIIIIII]Bε <sup>1</sup>′′ <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

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$$3 \text{--} 4\tag{90}$$

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$$
\begin{bmatrix}
\dots \text{BB} \text{B} \dots \text{BIB} \text{BB} \end{bmatrix}
\text{resp. } \begin{bmatrix}
\text{B} \begin{bmatrix}
\dots \text{BB} \dots \text{BIB} \text{BB} \end{bmatrix} \mathbf{B} \triangleq \overline{\mathbf{B} \mathbf{I} \mathbf{B}} \end{bmatrix} \tag{91}
$$

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$$\begin{aligned} p\_{[\cdot]} &= 41, & p\_{[\cdot]} &= 42, & p\_{[\cdot \cdot]} &= 43\\ m\_{[\cdot]} &= 41, & m\_{[\cdot]} &= 42 \end{aligned} \tag{93}$$

ȱȱ ȱ ȱȱȱȱǻȱȱǼȱȱȱȱȱ ¢ȱȱ¢ȱȱȱȱȱ¢ȱ ĺ

$$\begin{aligned} \mathcal{S}\_0 &\rightarrow \mathbf{G} \, \mathcal{S}\_1 \dots \! \! \mathbf{0} \\ \mathcal{S}\_1 &\rightarrow \mathbf{\overline{B}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{B}} \, \mathbf{\overline{B}} \, \mathcal{S}\_{414243\dots} \\ \mathcal{S}\_{414243\dots} &\rightarrow \mathbf{\overline{B}} \, s\_0 \, \overline{\mathbf{B}} \, \mathbf{\overline{B}} \, \mathcal{S}\_{414243\dots} \end{aligned} \tag{94}$$

ȱȱȱ ȱȱȱȱȱ¢

$$\mathbf{S}\_{\bullet} = \begin{pmatrix} \mathbf{S}\_{0} & \mathbf{S}\_{1\cdots 40} & \mathbf{S}\_{4142\,43\ldots} & \mathbf{S}\_{6} & \mathbf{S}\_{789\,10} & \mathbf{S}\_{11} \,\mathbf{S}\_{12} \end{pmatrix}, \text{ } \text{card } \mathbf{S}\_{\bullet} = \mathbf{3} \tag{95}$$

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$$\left[\mathbf{G}\mathbf{[22]}^\*\right] \tag{96}$$

ȱȱȱȱȱȱȱȱ¢ȱȱ ȱȱȱȱȱƽȱŗŘ ȱȱǰ

$$\left[\overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{s}\_0} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{s}\_0} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{s}\_0} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \, \overrightarrow{\mathbf{B}} \right] \tag{97}$$

ȱǰȱȱȱȱȱȱǰ

$$\begin{aligned} \text{card } \mathbf{S}\_\* \le l \le 2 \cdot (\text{card } \mathbf{S}\_\*), \quad & \text{card } \mathbf{S}\_\* = 3\\ 3 \le 3 \le 2 \cdot 3 \end{aligned} \tag{98}$$

ȱȱȱȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱ ȱȱȱǻȱǼ ȱ

$$\mathcal{S}\_{\mathbf{41}\ 42\ 43\cdots} \to \varepsilon\\\mathcal{S}\_{\text{HALT}}\ \mathcal{S}\_{\text{HALT}} \notin \mathbf{S}\_{\ast} \tag{99}$$

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p q Instruction Configuration C Config. Type g Config. Type m ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ ♯♯♯♯ G ♯♯♯♯

<sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>1</sup> I R εB[ <sup>s</sup><sup>0</sup> IIIBIIII]Bε <sup>1</sup> <sup>ε</sup>B[ <sup>s</sup><sup>0</sup> IBI]B<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>2</sup> <sup>2</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I R εB[ <sup>s</sup><sup>1</sup> IIBIIII]Bε <sup>2</sup> <sup>ε</sup>B[ <sup>s</sup><sup>1</sup> IBI]B<sup>ε</sup> <sup>2</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>3</sup> <sup>2</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I R εB[I s<sup>1</sup> IBIIII]Bε <sup>3</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> IBI]B<sup>ε</sup> <sup>3</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>4</sup> <sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> B s<sup>2</sup> B R εB[II s<sup>1</sup> BIII]Bε <sup>4</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> BI]B<sup>ε</sup> <sup>4</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>6</sup> <sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> I s<sup>2</sup> I R εB[IIBI s<sup>2</sup> II]Bε <sup>6</sup> <sup>ε</sup>B[IBI <sup>s</sup><sup>2</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>6</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>2</sup>

<sup>8</sup> <sup>5</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> B s<sup>3</sup> B L εB[IIBIII s<sup>2</sup> ]Bε <sup>8</sup> <sup>ε</sup>B[IBIBI <sup>s</sup><sup>2</sup> ]B<sup>ε</sup> <sup>7</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>2</sup>

<sup>9</sup> <sup>6</sup> <sup>s</sup><sup>3</sup> I s<sup>4</sup> B L εB[IIBII s<sup>3</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>9</sup> <sup>ε</sup>B[IBI <sup>s</sup><sup>3</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>8</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>3</sup>

<sup>10</sup> <sup>6</sup> <sup>s</sup><sup>3</sup> I s<sup>4</sup> B L εB[IIBIII s<sup>3</sup> BB]<sup>ε</sup> <sup>10</sup> <sup>ε</sup>B[IBI <sup>s</sup><sup>3</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>9</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>3</sup>

<sup>11</sup> <sup>8</sup> <sup>s</sup><sup>4</sup> I s<sup>5</sup> I L εB[IIBII s<sup>4</sup> IBB]<sup>ε</sup> <sup>11</sup> <sup>ε</sup>B[IBI <sup>s</sup><sup>4</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>10</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>4</sup>

<sup>12</sup> <sup>9</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> I s<sup>5</sup> I L εB[IIBI s<sup>5</sup> IIBB]<sup>ε</sup> <sup>12</sup> <sup>ε</sup>B[IBI <sup>s</sup><sup>5</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>11</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>5</sup>

<sup>14</sup> <sup>10</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> B s<sup>6</sup> B L εB[II s<sup>5</sup> BIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>14</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> BIB]<sup>ε</sup> <sup>13</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>5</sup>

<sup>15</sup> <sup>11</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> I s<sup>6</sup> I L εB[I s<sup>6</sup> IBIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>15</sup> <sup>ε</sup>B[<sup>I</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>14</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>6</sup>

<sup>16</sup> <sup>11</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> I s<sup>6</sup> I L εB[ <sup>s</sup><sup>6</sup> IIBIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>16</sup> <sup>ε</sup>B[ <sup>s</sup><sup>6</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>15</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup>

<sup>17</sup> <sup>12</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> B s<sup>0</sup> B R <sup>ε</sup>[ <sup>s</sup><sup>6</sup> BIIBIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>17</sup> <sup>ε</sup>[ <sup>s</sup><sup>6</sup> BIBIB]<sup>ε</sup> <sup>16</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup>

<sup>18</sup> <sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>1</sup> I R <sup>ε</sup>[B s<sup>0</sup> IIBIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>1</sup> <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>19</sup> <sup>2</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> I s<sup>1</sup> I R <sup>ε</sup>[B s<sup>1</sup> IBIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>2</sup>′ <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>2</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>20</sup> <sup>3</sup> <sup>s</sup><sup>1</sup> B s<sup>2</sup> B R <sup>ε</sup>[BI s<sup>1</sup> BIIIBB]<sup>ε</sup> <sup>4</sup>′ <sup>ε</sup>[BI <sup>s</sup><sup>1</sup> BIB]<sup>ε</sup> <sup>3</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>1</sup>

<sup>22</sup> <sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> I s<sup>2</sup> I R <sup>ε</sup>[BIBI s<sup>2</sup> IIBB]<sup>ε</sup> <sup>6</sup>′ <sup>ε</sup>[BIBI <sup>s</sup><sup>2</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>5</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>2</sup>

<sup>24</sup> <sup>5</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> B s<sup>3</sup> B L <sup>ε</sup>[BIBIII s<sup>2</sup> BB]<sup>ε</sup> <sup>8</sup>′ <sup>ε</sup>[BIBI <sup>s</sup><sup>2</sup> <sup>B</sup>]<sup>ε</sup> <sup>7</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>2</sup>

<sup>25</sup> <sup>6</sup> <sup>s</sup><sup>3</sup> I s<sup>4</sup> B L <sup>ε</sup>[BIBII s<sup>3</sup> IBB]<sup>ε</sup> <sup>9</sup>′ <sup>ε</sup>[BIBI <sup>s</sup><sup>3</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>8</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>3</sup>

<sup>26</sup> <sup>8</sup> <sup>s</sup><sup>4</sup> I s<sup>5</sup> I L <sup>ε</sup>[BIBI s<sup>4</sup> IBBB]<sup>ε</sup> <sup>11</sup>′ <sup>ε</sup>[BIBI <sup>s</sup><sup>4</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>10</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>4</sup>

<sup>28</sup> <sup>10</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> B s<sup>6</sup> B L <sup>ε</sup>[BI s<sup>5</sup> BIIBBB]<sup>ε</sup> <sup>15</sup>′ <sup>ε</sup>[BI <sup>s</sup><sup>5</sup> BIB]<sup>ε</sup> <sup>13</sup> −→BI <sup>s</sup><sup>5</sup>

<sup>29</sup> <sup>11</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> I s<sup>6</sup> I L <sup>ε</sup>[B s<sup>6</sup> IBIIBBB]<sup>ε</sup> <sup>16</sup>′ <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>15</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup>

<sup>30</sup> <sup>12</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup> B s<sup>0</sup> B R <sup>ε</sup>[ <sup>s</sup><sup>6</sup> BIBIIBBB]<sup>ε</sup> <sup>17</sup>′ <sup>ε</sup>[ <sup>s</sup><sup>6</sup> BIBIB]<sup>ε</sup> <sup>16</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>6</sup>

<sup>31</sup> <sup>1</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> I s<sup>1</sup> I R <sup>ε</sup>[B s<sup>0</sup> IBIIBBB]<sup>ε</sup> <sup>1</sup> <sup>ε</sup>[<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup> IBIB]<sup>ε</sup> <sup>1</sup> −→<sup>B</sup> <sup>s</sup><sup>0</sup>

<sup>27</sup> <sup>9</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> I s<sup>5</sup> I L <sup>ε</sup>[BIB s<sup>5</sup> IIBBB]<sup>ε</sup> <sup>13</sup>′ <sup>ε</sup>[BIB <sup>s</sup><sup>5</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>12</sup> −−−→ BIB <sup>s</sup><sup>5</sup>

<sup>21</sup> <sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> I s<sup>2</sup> I R <sup>ε</sup>[BIB s<sup>2</sup> IIIBB]<sup>ε</sup> <sup>5</sup>′ <sup>ε</sup>[BIB <sup>s</sup><sup>2</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>5</sup> −−−→ BIB <sup>s</sup><sup>2</sup>

23 4 s<sup>2</sup> I s<sup>2</sup> I R ε[BIBII s<sup>2</sup> IBB]ε 7′ ε[BIBI s<sup>2</sup> IB]ε 6 ..... 6

<sup>13</sup> <sup>9</sup> <sup>s</sup><sup>5</sup> I s<sup>5</sup> I L εB[IIB s<sup>5</sup> IIIBB]<sup>ε</sup> <sup>13</sup> <sup>ε</sup>B[IB <sup>s</sup><sup>5</sup> IB]<sup>ε</sup> <sup>12</sup> −−−→ BIB <sup>s</sup><sup>5</sup>

<sup>5</sup> <sup>4</sup> <sup>s</sup><sup>2</sup> I s<sup>2</sup> I R εB[IIB s<sup>2</sup> III]Bε <sup>5</sup> <sup>ε</sup>B[IB <sup>s</sup><sup>2</sup> <sup>I</sup>]B<sup>ε</sup> <sup>5</sup> −−−→ BIB <sup>s</sup><sup>2</sup>

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−→IB <sup>5</sup>

−→IB <sup>12</sup>

−→IB <sup>5</sup>

$$\begin{aligned} \vec{\eta} &= \begin{pmatrix} \eta\_{1} & \eta\_{2} & \eta\_{3} & \eta\_{4} & \eta\_{5} & \eta\_{6} & \eta\_{7} & \eta\_{8} & \eta\_{9} & \eta\_{10} & \eta\_{11'} & \eta\_{12'} & \eta\_{13} \end{pmatrix} \\ \eta\_{1} &= \begin{pmatrix} s\_{0} & I & s\_{1} & B & R \end{pmatrix} \\ \eta\_{2} &= \begin{pmatrix} s\_{1} \ I & I & s\_{1} \ I & I & R \end{pmatrix} \\ \eta\_{3} &= \begin{pmatrix} s\_{1} \ J & B \ s\_{2} & B \ J & R \end{pmatrix} \\ \eta\_{4} &= \begin{pmatrix} s\_{2} \ I & I & s\_{2} \ I & I & R \end{pmatrix} \\ \eta\_{5} &= \begin{pmatrix} s\_{2} \ J & I & s\_{2} \ I & I & R \end{pmatrix} \end{aligned} \tag{100}$$

$$\begin{aligned} \eta\_{6} &= \left(\mathbf{s}\_{\circ \prime} \mid I\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{4\prime} \mid \mathbf{B}\_{\prime} \mid L\right) \\ \eta\_{7} &= \left(\mathbf{s}\_{4\prime} \mid \mathbf{B}\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{H\prime} \mid \mathbf{B}\_{\prime} \mid R\right) \\ \eta\_{8} &= \left(\mathbf{s}\_{4\prime} \mid I\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{5\prime} \mid I\_{\prime} \mid L\right) \\ \eta\_{9} &= \left(\mathbf{s}\_{5\prime} \mid I\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{5\prime} \mid I\_{\prime} \mid L\right) \\ \eta\_{10} &= \left(\mathbf{s}\_{5\prime} \mid B\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{6\prime} \mid B\_{\prime} \mid L\right) \\ \eta\_{11} &= \left(\mathbf{s}\_{6\prime} \mid I\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{6\prime} \mid I\_{\prime} \mid L\right) \\ \eta\_{12} &= \left(\mathbf{s}\_{6\prime} \mid B\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{0\prime} \mid B\_{\prime} \mid R\right) \\ \eta\_{13} &= \left(\mathbf{s}\_{0\prime} \mid B\_{\prime} \mid \mathbf{s}\_{0\prime} \mid B\_{\prime} \mid L\right) \end{aligned}$$

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$$\begin{aligned} \mathbf{G} &= \begin{bmatrix} \mathbf{G}\_1 \mathbf{G}\_2 \end{bmatrix}, \; l = 2\\ \mathbf{G}\_1 &= \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 4 \ 5 \ 6 \ 7 \ 8 \ 9 \ 10 \ 11 \ 12 \end{bmatrix} \\ \mathbf{G}\_2 &= \begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 3 \ 5 \ 13 \ 14 \ 15 \ 16 \end{bmatrix} \end{aligned} \tag{101}$$

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$$\begin{aligned} \mathbf{S}\_0 & \rightarrow \mathbf{G}\_1 \, \mathbf{S}\_{1\, 2\, 3\, 4\, 5\, 6\, 7\, 8\, 9\, 10\, 11\, 12\, 13} \\ \mathbf{S}\_{1\, 2\, 3\, 4\, 5\, 6\, 7\, 8\, 9\, 10\, 11\, 12\, 13} & \rightarrow \mathbf{G}\_2 \, \mathbf{S}\_{14\, 15\, 16\, 17\, 18\, 19\, 20\, 21} \end{aligned} \tag{102}$$

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$$\mathbf{S}\_{\*} = \left| \mathbf{S}\_{0} \; \mathbf{S}\_{1 \; 2 \; 3 \; 4 \; 5 \; 6 \; 7 \; 8 \; 9 \; 10 \; 11 \; 12 \; 13} \; \; \mathbf{S}\_{14 \; 15 \; 16 \; 17 \; 18 \; 19 \; 20 \; 21} \right| \; \; \text{card } \mathbf{S}\_{\*} = \mathbf{3} \tag{103}$$

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**Chapter 7**
