**Author details**

*In*(*z*)=

**Expressions used in section 4.4.**

*Fn*,*m*(*κ*, *z*)= *Nn*(*κ*) - *Nn*(*αzκ*) <sup>2</sup>

*In*(*z*)= (*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 1)*Γ*(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup>

2 2*n*+ 11 <sup>3</sup> *<sup>Γ</sup>*( <sup>17</sup>

216 Adaptive Optics Progress

*Fn*,*m*(*κ*, *z*)= *Nn*

*<sup>I</sup> <sup>n</sup>*(*z*)= <sup>1</sup>

(*θσ <sup>z</sup>*)-2*<sup>n</sup>*+5/3*<sup>D</sup>* <sup>2</sup>*<sup>n</sup>* 24*<sup>n</sup> Γ*(*n* + 2) <sup>2</sup> 2

*In*(*z*) =

+




When the filter function is equal to

The integrations can be expressed by

<sup>6</sup> )*<sup>D</sup>* 5 3

{ <sup>8</sup>*Γ*( <sup>4</sup>

expanding to second-order turbulence moments:

<sup>3</sup> )*Γ*(2*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 3)(*<sup>α</sup><sup>z</sup>*

(1 / 6, *n* - 5 / 6;*n* + 2;*α<sup>z</sup>*

*F*1(-5 / 6, *n* - 5 / 6;*n* + 2;*α<sup>z</sup>*

*In*(*z*)= 8(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 1) <sup>108</sup>*n*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 2) - <sup>55</sup>

(*κ*, *z*) <sup>2</sup>

<sup>6</sup> ){ <sup>2</sup> 1 <sup>3</sup> *<sup>Γ</sup>*( <sup>7</sup> <sup>3</sup> )*<sup>D</sup>* 5 3

*<sup>Γ</sup>*( <sup>17</sup> <sup>6</sup> )*Γ*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>23</sup>

*<sup>F</sup>*2(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup> / 6, *<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>3</sup> / 2;*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 2, <sup>2</sup>*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 3; - *<sup>D</sup>* <sup>2</sup>

For the Gaussian source Eq. (12), the results can be expressed as:

6 ) +

*<sup>F</sup>*2(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup> / 6, *<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>3</sup> / 2;*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 2, <sup>2</sup>*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 3; - *<sup>D</sup>* <sup>2</sup>

<sup>3</sup> ) / *<sup>Γ</sup>*( <sup>17</sup> 6 ) *<sup>π</sup> <sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>23</sup>

<sup>6237</sup> *<sup>π</sup> <sup>Γ</sup>*(-10 / 3) *<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>23</sup> / 6) *<sup>Γ</sup>* 2(-

<sup>2</sup> )*Γ*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>23</sup>

<sup>3</sup>*Γ*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>3</sup>

5 <sup>3</sup> <sup>+</sup> <sup>1</sup>)

<sup>6</sup> ) -

2 )-

> 2 ) }

When the beacon is high enough (*H* ≫*z*), we can obtain the following asymptotic solution

8 <sup>3</sup> )*Γ*(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup>

4(*θ<sup>r</sup> <sup>z</sup>*)2 )-

*<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 2) <sup>2</sup> (2*<sup>n</sup>*+1/6 - 1) <sup>+</sup>

(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup>

<sup>6</sup> )(2*<sup>n</sup>*+7/6 - 1)

2(2 <sup>+</sup> *<sup>n</sup>*)(2*θ<sup>r</sup> <sup>z</sup>* / *<sup>D</sup>*)2 } (82)

2(*θ<sup>r</sup> <sup>z</sup>*)2 )}

If the widths of the distributed source are very large (*θrz* ≫*D*), expanding the solutions to

second-order terms of small parameter *D* /(*θrz*), the results are obtained as follows:

<sup>6</sup> ) - (2*θ<sup>r</sup> <sup>z</sup>* / *<sup>D</sup>*)5/3-2*<sup>n</sup>* 2*n*+1

<sup>6</sup> )( *<sup>z</sup> H* )2

<sup>6</sup> )*Γ*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> 2)

<sup>2</sup> - 1) <sup>2</sup> *F*1

**Expressions used in section 4.5.**

<sup>2</sup> (1 <sup>+</sup> *<sup>n</sup>*)*Γ*(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup>

When the filter function is equal to

2(*κ*) <sup>1</sup> - *Gs*

(1 <sup>+</sup> *<sup>n</sup>*)*Γ*(*<sup>n</sup>* - <sup>5</sup>

22/3

6 )

*<sup>D</sup>* -5/3 { *<sup>Γ</sup>*( <sup>7</sup>

*<sup>n</sup>* - <sup>6</sup>*<sup>n</sup>* - 22) <sup>2</sup>

(1 <sup>+</sup> *<sup>n</sup>*)*Γ*( <sup>7</sup> 3 ) *<sup>π</sup> <sup>Γ</sup>*( <sup>17</sup>

<sup>6</sup> ) ( *<sup>γ</sup>z<sup>D</sup>* 2 ) 5 3 <sup>|</sup> *sz*

*<sup>γ</sup>z<sup>D</sup>* <sup>|</sup><sup>2</sup> <sup>11</sup> *<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>1</sup>

<sup>2</sup> *<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>17</sup>

6 )

<sup>6</sup> ) - <sup>55</sup> *<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>7</sup>

<sup>16</sup> *<sup>Γ</sup>*(*<sup>n</sup>* <sup>+</sup> <sup>11</sup>

6 )

<sup>6</sup> ) <sup>|</sup> *sz*

*<sup>γ</sup>z<sup>D</sup>* <sup>|</sup><sup>2</sup> (80)

*D* 5/3 (81)

Jingyuan Chen and Xiang Chang

Yunnan Astronomical Observatory, Chinese Academy of Science, China
