**5.1 Statistical SoS model**

Recently, A new model is proposed in (Zajic & Stuber, 2006) to directly generate multiple uncorrelated complex envelope, which has resolved the difficulty in producing time averaged auto- and cross-correlation functions that match the reference model (Akki & Haber, 1989).

The *kth* complex faded envelope is given by (Zajic & Stuber, 2006)

$$Y\_k(t) = Y\_{ck}(t) + jY\_{sk}(t) \tag{11}$$

where

6 Will-be-set-by-IN-TECH

The auto-correlation and cross-correlation functions of the in-phase and quadrature components, and the auto-correlation functions of the complex envelope of fading signal *Z*(*t*)

*RZcZc* (*τ*) = *RZsZs*(*τ*) = <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* cos(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

*RZcZs* (*τ*) = <sup>−</sup>*RZsZc* (*τ*) = *<sup>K</sup>* sin(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

(6) where *<sup>J</sup>*0(·) is the zeroth-order Bessel function of the first kind, *<sup>a</sup>* <sup>=</sup> *<sup>f</sup>*1/ *<sup>f</sup>*<sup>2</sup> is the ratio of two maximum Doppler frequencies (or vehicles speeds), and here assuming *f*<sup>1</sup> ≤ *f*2. *a* = 0 means that the transmitter is stationary and then equation (6) gives the auto-correlation for I2V channels, which indicates that I2V channels are a special case of IVC channels in VANETs. Time-averaging is often used in place of ensemble averaging in simulation practice. The auto-correlation function of the real part of *Z*(*t*) for one trial (sample of the process) then

Furthermore, the time averaging changes from trial to trial due to the random angle. As pointed out in (Xiao et al., 2006), the variance of the time average *Var*[*R*(·)] = *<sup>E</sup>*[|*R*(·) <sup>−</sup> *<sup>R</sup>*ˆ(·)<sup>|</sup>

provides a measure of the closeness of the model in simulating the desired channel with a finite number of sinusoids. A lower variance indicates that a smaller number of simulation trials are needed to achieve the desired statistical properties, and, the convergence of the corresponding model is faster. The time-averaged variances of the aforementioned correlation

In next sections, we use these statistics to compare the performance of the proposed models

This section proposes two Rician channel models with a LOS component for VANETs by introducing the aforementioned LOS component and extends two SoS models (statistical and deterministic simulation models). Important statistical properties for the proposed Rician

(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) <sup>=</sup> <sup>2</sup>*J*0(2*πa f*2*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* exp(*j*2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

*Zc*(*t*)*Zc*(*t* + *τ*)*dt*

<sup>0</sup> (2*πa f*2*τ*)*J*<sup>2</sup>

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) (4)

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) (5)

(1 + *K*)

cos(2*π f*1*cosα<sup>n</sup>* + 2*π f*2*cosβn*)*τ* (7)

<sup>0</sup> (2*πa f*2*τ*)*J*<sup>2</sup>

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) *<sup>N</sup>* ]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) <sup>2</sup>*<sup>N</sup>* ]/(1+*K*)

<sup>2</sup>*<sup>N</sup>* ]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> (9)

2]

2 (8)

<sup>2</sup> (10)

are given by

becomes

statistics are derived as

with this reference model.

*RZZ*(*τ*) = <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* exp(*j*2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

*<sup>R</sup>*<sup>ˆ</sup> *ZcZc* (*τ*) = lim

*T*→∞

<sup>=</sup> <sup>1</sup> *N*

*Var*[*RZcZc* (*τ*)]=*Var*[*RZsZs*(*τ*)]=[ <sup>1</sup>+*J*0(4*πa f*2*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)−2*J*<sup>2</sup>

*Var*[*RZZ*(*τ*)] = *Var*[*RZZ*(*τ*)] = [ <sup>4</sup> <sup>−</sup> <sup>4</sup>*J*<sup>2</sup>

models are derived and provided for comparison purposes.

**5. Two SoS simulation models for VANETs**

1 *T T* 0

*Var*[*RZcZs*(*τ*)] = *Var*[*RZsZc* (*τ*)] = [ <sup>1</sup> <sup>−</sup> *<sup>J</sup>*0(4*πa f*2*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)

*N* ∑ *n*=1

$$Y\_{ck}(t) = \frac{2}{\sqrt{N\_0 M}} \sum\_{n=1}^{N\_0} \sum\_{m=1}^{M} \cos\left[2\pi f\_2 t \cos\left(\beta\_{mk}\right)\right] \cos\left[\left(2\pi f\_1 t \cos\left(a\_{nk}\right) + \phi\_{nmk}\right)\right] \tag{12}$$

$$Y\_{\rm sk}(t) = \frac{2}{\sqrt{N\_0 M}} \sum\_{n=1}^{N\_0} \sum\_{m=1}^{M} \sin\left[2\pi f\_2 t \cos\left(\beta\_{mk}\right)\right] \sin\left[\left(2\pi f\_1 t \sin\left(\alpha\_{nk}\right) + \phi\_{nmk}\right]\right] \tag{13}$$

*f*1, *f*2, *αnk*, *βmk* and *φnmk* are the maximum radian Doppler frequencies, the random angle of departure, the random angle of arrival, and the random phase, respectively. It is assumed that *P* independent complex faded envelopes are required (*k* = 0, ..., *P* − 1) each consisting of *NM* sinusoidal components. The angles of departures and the angles of arrivals are chosen as follows:

$$
\alpha\_{nk} = \frac{2\pi n}{4N\_0} + \frac{2\pi k}{4PN\_0} + \frac{\theta - \pi}{4N\_0} \tag{14}
$$

$$\beta\_{mk} = \frac{1}{2} (\frac{2\pi m}{M} + \frac{2\pi k}{PM} + \frac{\psi - \pi}{M}) \tag{15}$$

where *n* = 1, ..., *N*0, *m* = 1, ..*M*, *k* = 0, ..., *P* − 1. The angles of departures and the angles of arrivals in the *kth* complex faded envelope are obtained by rotating the angles of departures and the angles of arrivals in the (*<sup>k</sup>* <sup>−</sup> <sup>1</sup>)*th* complex envelope by 2*π*/(4*PN*0) and 2*π*/(2*PM*), respectively. The parameters *φnmk*, *θ* and *ψ* are independent random variables uniformly distributed on the interval [−*π*,*π*).

With reference to (2),(11),(12),(13), the received complex envelope of the IVC fading channels can be obtained as follows:

$$Z\_k(t) = \frac{Y\_k(t) + \sqrt{K} \exp(j2\pi f\_0 t + \phi\_0)}{\sqrt{1+K}} \tag{16}$$

The time-average auto-correlation and cross-correlation function of the in-phase and quadrature components, and the auto-correlation functions of the complex envelope of fading signal *Zk*(*t*) are given by

$$\hat{\mathcal{R}}\_{\mathbf{Z}\_{ik}\mathbf{Z}\_{ik}}(\tau) = \hat{\mathcal{R}}\_{\mathbf{Z}\_{ik}\mathbf{Z}\_{ik}}(\tau) = \frac{2J\_0(2\pi f\_1 \tau)J\_0(2\pi f\_2 \tau) + \mathcal{K}\cos\left(2\pi f\_0 \tau\right)}{2(1+K)}\tag{17}$$

$$
\hat{\mathcal{R}}\_{Z\_{ik}Z\_{ik}}(\tau) = -\hat{\mathcal{R}}\_{Z\_{ik}Z\_{ik}}(\tau) = \frac{K\sin(2\pi f\_0 \tau)}{2(1+K)}\tag{18}
$$

$$\hat{\mathcal{R}}\_{Z\_k Z\_k}(\tau) = \frac{2J\_0(2\pi f\_1 \tau)J\_0(2\pi f\_2 \tau) + K \exp\left(j2\pi f\_0 \tau\right)}{1+K} \tag{19}$$

This completes the proof of (17). Similarly, one can prove the (18) and (19), details are omitted

<sup>165</sup> Sum-of-Sinusoids-Based Fading Channel Models

<sup>4</sup>*N*0*<sup>M</sup>* <sup>−</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> (20)

cos(2*π f*1*τcosγ*1)*dγ*1]

cos(2*π f*2*τcosγ*2)*dγ*2]

2]

2

<sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup>

(1 + *K*)<sup>2</sup>

<sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup>

2

(1 + *K*)<sup>2</sup>

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*)

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*)

2 ·

<sup>2</sup> (22)

<sup>2</sup> (23)

*Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZsk* (*τ*)} <sup>=</sup> *Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZskZck* (*τ*)} <sup>=</sup> <sup>0</sup> (21)

*<sup>N</sup>*0*<sup>M</sup>* <sup>−</sup> <sup>4</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)

The time-averaged variances of above correlation statistics of *Zk*(*t*) are presented as

= [ <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>J</sup>*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)

*Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*)} <sup>=</sup> *Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZskZsk* (*τ*)}

*fc*(2*π f*1*τ*, 2*π f*2*τ*) =

Proof: We start with the first part of (20) and derive

<sup>2</sup>] <sup>−</sup> *<sup>J</sup>*<sup>2</sup>

*N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> [

*Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*)}

<sup>=</sup> *<sup>E</sup>*[|*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*)<sup>|</sup>

(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup>

(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup>

(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup>

*N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1

*N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> {*E*[

· cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>qk*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup>

*N*<sup>2</sup>

= [ <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>J</sup>*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)

<sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> {*N*0*<sup>M</sup>* ·

2

<sup>=</sup> *<sup>E</sup>*{ <sup>1</sup>

· *N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1

<sup>=</sup> <sup>1</sup>

· *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

<sup>=</sup> <sup>1</sup>

+*N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*2[*<sup>J</sup>* 2 <sup>0</sup> (2*π f*1*τ*)*J*

*Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZZ*(*τ*)} = [ <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>J</sup>*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)

with Rician K-factor and Vehicle Speed Ratio in Vehicular Ad Hoc Networks

*N*<sup>0</sup> ∑ *k*1=1

*M* ∑ *k*2=1

<sup>=</sup> *<sup>E</sup>*[|*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*) <sup>−</sup> <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

<sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup>

*N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

*N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>α</sup>pk*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>qk*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup>

<sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup>

<sup>4</sup>*N*0*<sup>M</sup>* <sup>−</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)

[ 1 2*π*

[ 1 2*π*  <sup>2</sup>*πk*<sup>1</sup> *<sup>N</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0

> 2*π*(*k*1−1) *<sup>N</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0

 <sup>2</sup>*πk*<sup>2</sup> *<sup>M</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM*

> 2*π*(*k*2−1) *<sup>M</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM*

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> <sup>−</sup> [

2(1 + *K*) |

*K* cos 2*π f*0*τ* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) ]

cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*)

cos2 (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>α</sup>nk*) cos<sup>2</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>mk*)]

(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> (*<sup>n</sup>* �<sup>=</sup> *p or m* �<sup>=</sup> *<sup>q</sup>*)

*E*[cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*)]*E*[cos (2*π f*1*τ* cos *αpk*)

<sup>0</sup> (2*π f*2*τ*)

1 + *J*0(4*π f*1*τ*)*J*0(4*π f*2*τ*) 4

<sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) <sup>−</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup>

for brevity.

where

Proof: we first prove the equation (17)

*RZckZck* (*τ*) = *E*[*Zck*(*t*)*Zck*(*t* + *τ*)] <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>4</sup> *<sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[ *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos (2*π f*1*t* cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2*t* cos *βmk*) · *N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1 cos (2*π f*1(*t* + *τ*) cos *αpk* + *φpqk*) cos (2*π f*2(*t* + *τ*) cos *βqk*)] + *KE*[cos (2*π f*0*t* + *φ*0) · cos (2*π f*0(*t* + *τ*) + *φ*0)] + 2 *K <sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[ *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos (2*π f*1*t* cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2*t* cos *βmk*) · cos (2*π f*0(*t* + *τ*) + *φ*0)] + *E*[cos (2*π f*0*t* + *φ*0) ·2 *K N*0*M N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos (2*π f*1(*t* + *τ*) cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2(*t* + *τ*) cos *βmk*)]} <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *<sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[ *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*)]} + *K* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)} <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0 *N*<sup>0</sup> ∑ *n*=1 1 2*π π* −*π* cos [2*π f*1*τ* cos ( 2*πn* 4*N*<sup>0</sup> + 2*πk* 4*PN*<sup>0</sup> + *θ* − *π* 4*N*<sup>0</sup> )]*dθ* · 1 *M M* ∑ *m*=1 1 2*π π* −*π* cos [2*π f*2*τ* cos ( 2*πm* <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* <sup>+</sup> 2*πk* <sup>2</sup>*PM* <sup>+</sup> *<sup>ψ</sup>* <sup>−</sup> *<sup>π</sup>* <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* )]*dψ*} <sup>+</sup> *K* 2(1 + *K*) cos (2*π f*0*τ*) <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0 *N*<sup>0</sup> ∑ *n*=1 1 2*π* <sup>2</sup>*π<sup>n</sup>* <sup>4</sup>*N*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0 2*π*(*n*−1) <sup>4</sup>*N*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0 cos (2*π f*1*τ* cos *γn*) · 4*N*0*dγ<sup>n</sup>* · 1 *M M* ∑ *n*=1 1 2*π* <sup>2</sup>*π<sup>M</sup>* <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM* 2*π*(*m*−1) <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM* cos (2*π f*2*τ* cos *γm*) · 2*Mdγm*} + *K* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0 · 1 2*π <sup>π</sup>* <sup>2</sup> + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0 2*πk* 4*PN*0 cos (2*π f*1*τ* cos *γn*) · 4*N*0*dγ<sup>n</sup>* · 1 *<sup>M</sup>* · <sup>1</sup> 2*π <sup>π</sup>*+ <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM* 2*πk* 2*PM* cos (2*π f*2*τ* cos *γm*) · 2*Mdγm*} + *K* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) <sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* [ 2 *π <sup>π</sup>* 2 0 cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>γ</sup>*1)*dγ*<sup>1</sup> · <sup>1</sup> *π π* 0 cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>γ</sup>*2)*dγ*2] *<sup>K</sup>* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) <sup>=</sup> <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) 2(1 + *K*)

This completes the proof of (17). Similarly, one can prove the (18) and (19), details are omitted for brevity.

The time-averaged variances of above correlation statistics of *Zk*(*t*) are presented as

$$\begin{split} \operatorname{Var}\{\ddot{R}\_{\mathbb{Z}\_{4}\mathbb{Z}\_{4}}(\tau)\} &= \operatorname{Var}\{\ddot{R}\_{\mathbb{Z}\_{4}\mathbb{Z}\_{4}}(\tau)\} \\ &= [\frac{1 + f\_{0}(4\pi f\_{1}\tau)f\_{0}(4\pi f\_{2}\tau)}{4N\_{0}M} - f\_{\mathbb{C}}(2\pi f\_{1}\tau, 2\pi f\_{2}\tau)]/(1+K)^{2} \end{split} \tag{20}$$

$$\operatorname{Var}\{\hat{\mathbb{R}}\_{\mathbb{Z}\_{\ell}\mathbb{Z}\_{\ge k}}(\tau)\} = \operatorname{Var}\{\hat{\mathbb{R}}\_{\mathbb{Z}\_{\ge k}\mathbb{Z}\_{\ell}}(\tau)\} = 0 \tag{21}$$

$$\operatorname{Var}\{\hat{\mathcal{R}}\_{ZZ}(\tau)\} = [\frac{1 + f\_0(4\pi f\_1 \tau)f\_0(4\pi f\_2 \tau)}{N\_0 M} - 4f\_0(2\pi f\_1 \tau, 2\pi f\_2 \tau)]/(1+K)^2\tag{22}$$

where

8 Will-be-set-by-IN-TECH

cos (2*π f*1*t* cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2*t* cos *βmk*)

*N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

cos (2*π f*1(*t* + *τ*) cos *αpk* + *φpqk*) cos (2*π f*2(*t* + *τ*) cos *βqk*)] + *KE*[cos (2*π f*0*t* + *φ*0)

cos (2*π f*1(*t* + *τ*) cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2(*t* + *τ*) cos *βmk*)]}

+ *θ* − *π* 4*N*<sup>0</sup>

<sup>2</sup>*<sup>M</sup>* )]*dψ*} <sup>+</sup>

*K*

*K*

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>γ</sup>*2)*dγ*2] *<sup>K</sup>*

cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*)]} +

2*πn* 4*N*<sup>0</sup> + 2*πk* 4*PN*<sup>0</sup>

cos (2*π f*2*τ* cos *γm*) · 2*Mdγm*} +

cos (2*π f*1*τ* cos *γn*) · 4*N*0*dγ<sup>n</sup>*

*π π* 0

cos (2*π f*2*τ* cos *γm*) · 2*Mdγm*} +

cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>γ</sup>*1)*dγ*<sup>1</sup> · <sup>1</sup>

2*πk*

<sup>2</sup>*PM* <sup>+</sup> *<sup>ψ</sup>* <sup>−</sup> *<sup>π</sup>*

cos (2*π f*1*τ* cos *γn*) · 4*N*0*dγ<sup>n</sup>*

cos (2*π f*1*t* cos *αnk* + *φnmk*) cos (2*π f*2*t* cos *βmk*)

*K*

*K* 2(1 + *K*)

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

)]*dθ*

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)}

cos (2*π f*0*τ*)

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

Proof: we first prove the equation (17)

*N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

> *K <sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[

cos [2*π f*1*τ* cos (

2*πm* <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* <sup>+</sup>

· cos (2*π f*0(*t* + *τ*) + *φ*0)] + *E*[cos (2*π f*0*t* + *φ*0)

*RZckZck* (*τ*)

<sup>=</sup> <sup>1</sup>

· *N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1

·2 *K N*0*M*

<sup>=</sup> <sup>1</sup>

<sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0

> · 1 *M*

<sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0

> · 1 *M*

<sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup> *N*0 · 1 2*π*

> · 1 *<sup>M</sup>* · <sup>1</sup> 2*π*

<sup>=</sup> <sup>1</sup> <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* [

<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>1</sup>

*M* ∑ *m*=1

*M* ∑ *n*=1

1 2*π*

2 *π*  *<sup>π</sup>* 2 0

1 2*π*

= *E*[*Zck*(*t*)*Zck*(*t* + *τ*)]

*<sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[

· cos (2*π f*0(*t* + *τ*) + *φ*0)] + 2

*N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

> *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1

1 2*π*

1 2*π*  *π* −*π*

 <sup>2</sup>*π<sup>n</sup>* <sup>4</sup>*N*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0

> 2*π*(*n*−1) <sup>4</sup>*N*<sup>0</sup> <sup>+</sup> <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0

cos [2*π f*2*τ* cos (

*<sup>N</sup>*0*<sup>M</sup> <sup>E</sup>*[

*N*<sup>0</sup> ∑ *n*=1

> *π* −*π*

*N*<sup>0</sup> ∑ *n*=1

> <sup>2</sup>*π<sup>M</sup>* <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM*

 *<sup>π</sup>*+ <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM* 2*πk* 2*PM*

2*π*(*m*−1) <sup>2</sup>*<sup>M</sup>* + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 2*PM*

> *<sup>π</sup>* <sup>2</sup> + <sup>2</sup>*π<sup>k</sup>* 4*PN*0 2*πk* 4*PN*0

<sup>=</sup> <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) 2(1 + *K*)

<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* { <sup>4</sup>

$$f\_{\mathbb{C}}(2\pi f\_1 \tau, 2\pi f\_2 \tau) = \sum\_{k\_1=1}^{N\_0} \left[ \frac{1}{2\pi} \int\_{\frac{2\pi(k\_1-1)}{N} + \frac{2\pi k}{4N\_0}}^{\frac{2\pi k\_1}{N} + \frac{2\pi k}{4N\_0}} \cos(2\pi f\_1 \tau \cos \gamma\_1) d\gamma\_1 \right]^2 \cdot \tag{23}$$

$$\sum\_{k\_2=1}^{M} \left[ \frac{1}{2\pi} \int\_{\frac{2\pi(k\_2-1)}{M} + \frac{2\pi k}{2N}}^{\frac{2\pi k\_2}{M} + \frac{2\pi k}{2N}} \cos(2\pi f\_2 \tau \cos \gamma\_2) d\gamma\_2 \right]^2 \tag{24}$$

Proof: We start with the first part of (20) and derive

*Var*{*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*)} <sup>=</sup> *<sup>E</sup>*[|*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*) <sup>−</sup> <sup>2</sup>*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) + *<sup>K</sup>* cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*) 2(1 + *K*) | 2] <sup>=</sup> *<sup>E</sup>*[|*R*<sup>ˆ</sup> *ZckZck* (*τ*)<sup>|</sup> <sup>2</sup>] <sup>−</sup> *<sup>J</sup>*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> <sup>−</sup> [ *K* cos 2*π f*0*τ* <sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) ] 2 <sup>=</sup> *<sup>E</sup>*{ <sup>1</sup> (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup> *N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> [ *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*) · *N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1 cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>α</sup>pk*) cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>qk*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) (1 + *K*)<sup>2</sup> <sup>=</sup> <sup>1</sup> (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup> *N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> {*E*[ *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 cos2 (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*<sup>τ</sup>* cos *<sup>α</sup>nk*) cos<sup>2</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>mk*)] · *N*0,*M* ∑ *n*,*m*=1 *N*0,*M* ∑ *p*,*q*=1 *E*[cos (2*π f*1*τ* cos *αnk*) cos (2*π f*2*τ* cos *βmk*)]*E*[cos (2*π f*1*τ* cos *αpk*) · cos (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*<sup>τ</sup>* cos *<sup>β</sup>qk*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> (*<sup>n</sup>* �<sup>=</sup> *p or m* �<sup>=</sup> *<sup>q</sup>*) <sup>=</sup> <sup>1</sup> (<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*)<sup>2</sup> · <sup>1</sup> *N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*<sup>2</sup> {*N*0*<sup>M</sup>* · 1 + *J*0(4*π f*1*τ*)*J*0(4*π f*2*τ*) 4 +*N*<sup>2</sup> <sup>0</sup> *<sup>M</sup>*2[*<sup>J</sup>* 2 <sup>0</sup> (2*π f*1*τ*)*J* 2 <sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) <sup>−</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]} − *<sup>J</sup>*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*<sup>2</sup> <sup>0</sup> (2*π f*2*τ*) (1 + *K*)<sup>2</sup> = [ <sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>J</sup>*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*)*J*0(4*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*) <sup>4</sup>*N*0*<sup>M</sup>* <sup>−</sup> *fc*(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*1*τ*, 2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*2*τ*)]/(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) 2

*<sup>R</sup>*<sup>ˆ</sup> *ZcZc* (*τ*) = <sup>1</sup>

*<sup>R</sup>*<sup>ˆ</sup> *ZZ*(*τ*) = <sup>1</sup>

<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* [ <sup>1</sup>

*<sup>R</sup>*<sup>ˆ</sup> *ZsZs* (*τ*) = <sup>1</sup>

<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* [ <sup>1</sup> *N*<sup>2</sup> *C*

(*NC* + 1)<sup>2</sup>

<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>* [ <sup>1</sup> *N*<sup>2</sup> *C*

1 (*NC* + 1)<sup>2</sup>

**6. Performance analysis and comparison**

period *f*1*TS* = 0.01 (*Ts* is the sampling period).

MEDS model K=0 K=1 K=5

Reference model Statistical model(1 simulation trial) Statistical model(10 simulation trials)

<sup>0</sup> <sup>2</sup> <sup>4</sup> <sup>6</sup> <sup>8</sup> <sup>10</sup> −1

(a)

**6.1 Effects of Rician factor in VANETs**

Normalized Time Delay τ

−0.5

0

0.5

Re[Rzz(τ)]

model.

1

*Nc*,*Nc* ∑ *n*,*m*=1

with Rician K-factor and Vehicle Speed Ratio in Vehicular Ad Hoc Networks

*Nc*+1,*Nc*+1 ∑ *n*,*m*=1

*Nc*,*Nc* ∑ *n*,*m*=1

*Nc*+1,*Nc*+1 ∑ *n*,*m*=1

model cannot be obtained in a simplified form, here are not provided.

cos {2*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>c</sup>*

<sup>167</sup> Sum-of-Sinusoids-Based Fading Channel Models

cos {2*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>s</sup>*

1,*n<sup>τ</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>c</sup>*

1,*n<sup>τ</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>s</sup>*

*<sup>R</sup>*<sup>ˆ</sup> *ZcZs* (*τ*) = <sup>−</sup>*R*<sup>ˆ</sup> *ZsZc* (*τ*) = *<sup>K</sup>* sin(2*<sup>π</sup> <sup>f</sup>*0*τ*)

cos {2*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>s</sup>*

*Remark*: The expressions for variances of the correlation functions for the proposed MEDS

This section compares the performance of the proposed simulation models. Unless stated otherwise, all the simulation results presented here are obtained using a normalized sampling

−0.5

0

0.5

Im[Rzz(τ)]

Fig. 2. The auto-correlation function of the complex envelope with different *K*

The results of Figs. 2-3 are obtained using *a* = 1, *f*<sup>1</sup> = *f*<sup>2</sup> = 50*Hz*, *N*<sup>0</sup> = *M* = *NC* = *P* = 8. For a fair comparison, we use *N* = 4*N*<sup>0</sup> × 2*M* = 512 sinusoids for simulation of the reference

1

1.5

cos {2*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>c</sup>*

1,*n<sup>τ</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>c</sup>*

1,*n<sup>τ</sup>* <sup>+</sup> <sup>2</sup>*<sup>π</sup> <sup>f</sup> <sup>s</sup>*

2,*mτ*} +

2,*mτ*} +

2,*mτ*} +

*K* cos (2*π f*0*τ*)

<sup>2</sup>(<sup>1</sup> <sup>+</sup> *<sup>K</sup>*) (32)

2,*mτ*} + *K* exp (2*π f*0*τ*)] (33)

<sup>0</sup> <sup>2</sup> <sup>4</sup> <sup>6</sup> <sup>8</sup> <sup>10</sup> −1

(b)

Normalized Time Delay τ

Reference model Statistical model(1 simulation trial) Statistical model(10 simulation trials)

MEDS model K=0 K=1 K=5

*K* cos (2*π f*0*τ*)

<sup>2</sup> ] (30)

<sup>2</sup> ] (31)

Similarly, we can validate the second part of (20) and equation (21). Thus, we have

$$\begin{split} &\text{Var}\{\hat{\mathbb{R}}\_{Z\_{k}Z\_{k}}(\tau)\} \\ &= E[|\hat{\mathbb{R}}\_{Z\_{k}Z\_{k}}(\tau) - \frac{2J\_{0}(2\pi f\_{1}\tau)J\_{0}(2\pi f\_{2}\tau) + K\exp\left(j2\pi f\_{0}\tau\right)}{1+K}|^{2}] \\ &= E[|2\hat{\mathbb{R}}\_{Z\_{k}Z\_{k}}(\tau) + j2\hat{\mathbb{R}}\_{Z\_{k}Z\_{k}}(\tau) - \frac{2J\_{0}(2\pi f\_{1}\tau)J\_{0}(2\pi f\_{2}\tau)}{(1+K)} - \frac{K\exp j2\pi f\_{0}\tau}{(1+K)}|^{2}] \\ &= [\frac{1+J\_{0}(4\pi f\_{1}\tau)J\_{0}(4\pi f\_{2}\tau)}{N\_{0}M} - 4f\_{\mathbb{C}}(2\pi f\_{1}\tau, 2\pi f\_{2}\tau)]/(1+K)^{2} \end{split}$$

This completes the proof.
