**6.5 Graphical representations of** *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>S</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* **and** *<sup>T</sup>*<sup>~</sup> *<sup>S</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>*

The graphical representation of the fuzzy functions *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>S</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* and *<sup>T</sup>*<sup>~</sup> *<sup>S</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* is made from their membership functions when their supports and modes are known. Referring to (27), we obtain:

• *<sup>η</sup>N*<sup>~</sup> *s t*ð Þ ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, *xt xt* � *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 *N*~ *L <sup>s</sup>* ð Þ� *<sup>t</sup>*, 1 *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 if *N*~ *<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 1 , *t*≥0 *N*~ *U <sup>s</sup>* ð Þ� *t*, 0 *xt N*~ *U <sup>s</sup>* ð Þ� *<sup>t</sup>*, 0 *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 1 if *N*~ *<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 1 <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup> *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 , *t*≥0 0 otherwise 8 >>>>>>>>>< >>>>>>>>>: ¼ *xt* <sup>þ</sup> <sup>0</sup>*:*6*e*�3*<sup>t</sup>* � <sup>0</sup>*:*<sup>2</sup> <sup>0</sup>*:*<sup>5</sup> � <sup>0</sup>*:*1*e*�3*<sup>t</sup>* if 0*:*<sup>2</sup> � <sup>0</sup>*:*6*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup> <sup>0</sup>*:*<sup>67</sup> � <sup>0</sup>*:*67*e*�3*<sup>t</sup>* , *t*≥ 0 <sup>3</sup> � *<sup>e</sup>*�3*<sup>t</sup>* ð Þ� *xt* <sup>2</sup>*:*<sup>3</sup> � <sup>0</sup>*:*3*e*�3*<sup>t</sup>* if 0*:*<sup>67</sup> � <sup>0</sup>*:*67*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>≤</sup> *xt* <sup>≤</sup> <sup>3</sup> � *<sup>e</sup>*�3*<sup>t</sup>* , *t*≥0 0 otherwise 8 >>>>>>< >>>>>>: • *<sup>η</sup>T*~*s t*ð Þ ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, *xt xt* � *<sup>T</sup>*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 *T*~*L <sup>s</sup>* ð Þ� *<sup>t</sup>*, 1 *<sup>T</sup>*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 if *T*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>≤</sup> *xt* <sup>≤</sup>*T*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 1 , *t* ≥0 *T*~*U <sup>s</sup>* ð Þ� *t*, 0 *xt T*~*U <sup>s</sup>* ð Þ� *<sup>t</sup>*, 0 *<sup>T</sup>*~*<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 1 if *T*~*<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 1 <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup>*T*~*<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 , *t*≥ 0 0 otherwise 8 >>>>>>>>>< >>>>>>>>>: <sup>90</sup> <sup>þ</sup> <sup>285</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> <sup>225</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* 24 þ 29*e*�3*<sup>t</sup>* � 23*e*�6*<sup>t</sup>* � �*xt* � <sup>6</sup> � <sup>9</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* � <sup>27</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* <sup>24</sup> <sup>þ</sup> <sup>29</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* � <sup>23</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* if <sup>1</sup> � <sup>3</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>15</sup> <sup>þ</sup> <sup>25</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup> <sup>2</sup> � <sup>2</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>6</sup> <sup>þ</sup> <sup>9</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* , *<sup>t</sup>*<sup>≥</sup> <sup>0</sup> � <sup>6</sup> <sup>þ</sup> <sup>15</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>þ</sup> <sup>9</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* 24 þ 21*e*�3*<sup>t</sup>* � 23*e*�6*<sup>t</sup>* � �*xt* <sup>þ</sup> <sup>18</sup> <sup>þ</sup> <sup>21</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* � <sup>9</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* <sup>16</sup> <sup>þ</sup> <sup>21</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* � <sup>7</sup>*e*�6*<sup>t</sup>* if <sup>2</sup> � <sup>2</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>6</sup> <sup>þ</sup> <sup>9</sup>*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>≤</sup>*xt* <sup>≤</sup> <sup>3</sup> � *<sup>e</sup>*�3*<sup>t</sup>* <sup>1</sup> <sup>þ</sup> *<sup>e</sup>*�3*<sup>t</sup>* , *<sup>t</sup>*<sup>≥</sup> <sup>0</sup> 8 >>>>>>>< >>>>>>>:

0 otherwise

#### *6.5.1 Graphics*

¼

#### *6.5.2 Interpretation of results*

**Figure 1**, shows that the support of the function *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>s</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* is an open interval from *N*~ *L <sup>s</sup>* ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>0</sup>*:*<sup>2</sup> � <sup>0</sup>*:*6*e*�3*<sup>t</sup>* to *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>3</sup> � *<sup>e</sup>*�3*<sup>t</sup>* ,ð Þ *t*≥ 0 this means that the function average number of patients in the system is a fuzzy function.

It is impossible for the curve of the fuzzy function *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>s</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* to be below the curve of *N*~ *L <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 0 nor above that of *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 . The curve of its modal function *N*~ *U <sup>s</sup>* ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>0</sup>*:*<sup>67</sup> � <sup>0</sup>*:*67*e*�3*<sup>t</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*<sup>≥</sup> <sup>0</sup> , is the most likely curve for the function *<sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>s</sup>*ð Þ*<sup>t</sup>* .

Similarly, **Figure 2**, indicates that the curve for the fuzzy function *T*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ*t* , the average time of patients'stay in the system, is approximately between the curves of equations *T*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>1</sup>�3*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>15</sup>þ25*e*�3*<sup>t</sup>* and *<sup>T</sup>*~*<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ¼ *<sup>t</sup>*, 0 <sup>3</sup>�3*e*�3*<sup>t</sup>* <sup>1</sup>þ*e*�3*<sup>t</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>* <sup>≥</sup><sup>0</sup> . In other words, the curve of *<sup>T</sup>*~*s*ð Þ*<sup>t</sup>* cannot go below that of *<sup>T</sup>*~*<sup>L</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *<sup>t</sup>*, 0 nor can it go above that of *<sup>T</sup>*~*<sup>U</sup> <sup>s</sup>* ð Þ *t*, 0 .

In the classical, we can say that the average waiting time of patients in the system is approximately between 0.1 hours (≃ 6 min) and 3 hours ( ≃ 180 min).

*Computing the Performance Parameters of the Markovian Queueing System FM/FM/1… DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.110388*

#### **Figure 1.**

*Membership function of the fuzzy function <sup>N</sup>*<sup>~</sup> *<sup>s</sup>*ð Þ*<sup>t</sup> average number of patients in the system at a time t t*ð Þ <sup>≥</sup><sup>0</sup> *.*

This means in other words that the average patient waiting time in the system cannot go below 6 min nor above 180 min. The most likely mean patient waiting time in the system is 0.3 hours (≃ 18 min).
