**First-order equation**

$$p^1: \frac{d^2q\_1}{dt^2} + \lambda\_1 q\_0 + \frac{d^2u\_o}{dt^2} + \lambda\_1 u\_o + \lambda\_2 q\_0^2 + \lambda\_3 q\_0^3 = \mathbf{0} \tag{90}$$

with corresponding initial conditions

$$q\_1(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \text{ and } \frac{dq\_1(\mathbf{0})}{dt} = \mathbf{0} \tag{91}$$

#### **Second-order equation**

$$p^2: \frac{d^2q\_2}{dt^2} + \lambda\_1 q\_2 + 2\lambda\_2 q\_0 q\_1 + 3\lambda\_3 q\_0^2 q\_1 = 0\tag{92}$$

with corresponding initial conditions

$$q\_2(\mathbf{0}) = \mathbf{0} \text{ and } \frac{dq\_2(\mathbf{0})}{dt} = \mathbf{0} \tag{93}$$

The solution of the zero-order is given by. From Eq. (27), we have

$$q\_0 = A \cos(at) \tag{94}$$

On substituting Eq. (94) into Eq. (90) and using trigonometric identities, after the colllection of like terms, one arrives at

$$\begin{split} \frac{d^2 q\_1}{dt^2} + \lambda\_1 q\_1 + A \left( \lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4} A^2 \lambda \right) \cos \left( \alpha t \right) + \frac{A^2 \lambda\_2}{2} \cos \left( 2\alpha t \right) + \frac{A^3 \lambda\_3}{4} \cos \left( 3\alpha t \right) + \frac{A^2 \lambda\_2}{2} \\ = 0 \end{split} \tag{95}$$

The solution of the above Eq. (95) provides

$$\begin{aligned} q\_1(t) &= \begin{bmatrix} A\left(\lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4}A^2\lambda\right)\left(\frac{\lambda\_1}{\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(\alpha t\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2}\left(\frac{\lambda\_1}{4\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(2\alpha t\right) \\ + \frac{A^3\lambda\_3}{4}\left(\frac{\lambda\_1}{9\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(3\alpha t\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2} \end{bmatrix} \\ &+ \left[ A\left(\lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4}A^2\lambda\right)\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - \alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 4\alpha^2}\right) + \frac{A^3\lambda\_3}{4}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 9\alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2\lambda\_1}\right] \cos\left(at\right) \end{aligned} \tag{96}$$

*Perturbation Methods to Analysis of Thermal, Fluid Flow and Dynamics Behaviors of… DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.96059*

Based on the procedure of HPM, setting *p* ¼ 1*,*

$$q(t) = \lim\_{p \to 1} q(t) = \lim\_{p \to 1} \left[ q\_0 + pq\_1 + p^2 q\_2 + p^3 q\_3 + \dots \right] = q\_0 + q\_1 + q\_2 + q\_3 + \dots \tag{97}$$

On substituting Eqs. (94) and (96) into Eq. (97), the result is

$$q(t) = A\cos(\alpha t) + \begin{bmatrix} A\left(\lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4}A^2\lambda\right)\left(\frac{\lambda\_1}{\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(\alpha t\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2}\left(\frac{\lambda\_1}{4\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(2\alpha t\right) \\\\ + \frac{A^3\lambda\_3}{4}\left(\frac{\lambda\_1}{9\alpha^2 - \lambda\_1^2}\right)\cos\left(3\alpha t\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2} \end{bmatrix}$$

$$+ \left[ A\left(\lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4}A^2\lambda\right)\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - \alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 4\alpha^2}\right) + \frac{A^3\lambda\_3}{4}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 9\alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2\lambda\_1}\right] \cos\left(\lambda\_1 t\right) + ... \tag{98}$$

In order to find the natural frequency, *ω*, the secular term must be eliminated. In order to do this, set the coefficient of *cos*ð Þ *λ*1*t* to zero.

$$A\left(\lambda\_1 - \alpha^2 + \frac{3}{4}A^2\lambda\right)\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - \alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 4\alpha^2}\right) + \frac{A^3\lambda\_3}{4}\left(\frac{\lambda\_1}{\lambda\_1^2 - 9\alpha^2}\right) + \frac{A^2\lambda\_2}{2\lambda\_1} = 0.\tag{99}$$

After simplification of Eq. (99), we have

$$\begin{aligned} \left(\frac{A\lambda\_2}{2\lambda\_1^2} - 1\right)\boldsymbol{\mu}^6 + A\left[\lambda\_1^2 \left(\mathbf{13} - \frac{49A\lambda\_2}{2}\right) - 36\lambda\_1 + \frac{9A\lambda\_2}{2} - 26\lambda\_3 A\right] \boldsymbol{\mu}^4 \\\ A\left[\lambda\_1^4 + \mathbf{13}\lambda\_1^3 - \left(2A\lambda\_2 - \mathbf{11}\lambda\_3 A^2\right)\lambda\_1^2\right] \boldsymbol{\mu}^2 + \lambda\_1^4 A\left(\lambda\_1 + \lambda\_3 A^2\right) = \mathbf{0} \end{aligned} \tag{100}$$

The sextic equation can be written as

$$\begin{aligned} \left(\frac{A\lambda\_2}{2\lambda\_1^2} - 1\right)\alpha^6 + A\left[\lambda\_1^2 \left(13 - \frac{49A\lambda\_2}{2}\right) - 36\lambda\_1 + \frac{9A\lambda\_2}{2} - 26\lambda\_3 A\right] \alpha^4\\ \left[\lambda\_1^4 + 13\lambda\_1^3 - \left(24\lambda\_2 - 11\lambda\_3 A^2\right)\lambda\_1^2\right] \alpha^2 + \lambda\_1^4 A\left(\lambda\_1 + \lambda\_3 A^2\right) = 0 \end{aligned} \tag{101}$$

Eq. (101) can be written as

$$
\chi\_1 a^6 + \chi\_2 a^4 + \chi\_3 a^2 + \chi\_4 = 0 \tag{102}
$$

where

$$\chi\_1 = \left(\frac{A\lambda\_2}{2\lambda\_1^2} - \mathbf{1}\right), \chi\_2 = A\left[\lambda\_1^2 \left(\mathbf{1}\mathbf{3} - \frac{4\mathbf{9}A\lambda\_2}{2}\right) - \mathbf{3}\mathbf{6}\lambda\_1 + \frac{\mathbf{9}A\lambda\_2}{2} - \mathbf{2}\mathbf{6}\lambda\_3 A\right]$$

$$\chi\_3 = A\left[\lambda\_1^4 + \mathbf{13}\lambda\_1^3 - \left(2\mathbf{A}\lambda\_2 - \mathbf{11}\lambda\_3 A^2\right)\lambda\_1^2\right], \chi\_4 = \lambda\_1^4 A\left(\lambda\_1 + \lambda\_3 A^2\right) = \mathbf{0}$$

The roots of the sextic equation are

$$o\_{1} = \sqrt{\frac{\sqrt[3]{\left(\frac{-\chi\_{2}^{3}}{2\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right) + \sqrt{\left(\frac{\chi\_{3}}{3\chi\_{1}} - \frac{\chi\_{2}^{2}}{9\chi\_{1}^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi\_{1}^{3}}{2\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right)^{2}}}} \tag{10}$$

$$\sqrt[3]{1 + \sqrt[3]{\left(\frac{-\chi\_{2}^{3}}{2\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right) - \sqrt{\left(\frac{\chi\_{3}}{3\chi\_{1}} - \frac{\chi\_{2}^{2}}{9\chi\_{1}^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi\_{3}^{3}}{2\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right)^{2}} - \frac{\chi\_{2}}{3\chi\_{1}}} \tag{10}$$

$$\alpha\_{2} = -\begin{split} \sqrt[3]{\left(\frac{-\chi\_{2}^{3}}{2\Upsilon\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right) + \sqrt{\left(\frac{\chi\_{1}}{3\chi\_{1}} - \frac{\chi\_{2}^{2}}{9\chi\_{1}^{3}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi\_{1}^{3}}{2\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right)^{2}} \\ + \sqrt[3]{\left(\frac{-\chi\_{2}^{3}}{2\Upsilon\chi\_{1}^{3}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right) - \sqrt{\left(\frac{\chi\_{3}}{3\chi\_{1}} - \frac{\chi\_{2}^{2}}{9\chi\_{1}^{2}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi\_{3}^{3}}{2\chi\_{1}^{2}} + \frac{\chi\_{2}\chi\_{3}}{6\chi\_{1}^{2}} - \frac{\chi\_{4}}{2\chi\_{1}}\right)^{2}} - \frac{\chi\_{2}}{3\chi\_{1}} \end{split} \tag{104}$$

*ω*<sup>3</sup> ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �1 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 þ ffiffiffiffiffiffi �<sup>3</sup> <sup>p</sup> 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 � *<sup>χ</sup>*<sup>2</sup> 3*χ*<sup>1</sup> vuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut

(105)

*ω*<sup>4</sup> ¼ � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �1 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 þ ffiffiffiffiffiffi �<sup>3</sup> <sup>p</sup> 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 � *<sup>χ</sup>*<sup>2</sup> 3*χ*<sup>1</sup> vuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut (106)

**118**

*Perturbation Methods to Analysis of Thermal, Fluid Flow and Dynamics Behaviors of… DOI: http://dx.doi.org/10.5772/intechopen.96059*

*ω*<sup>5</sup> ¼ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �1 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 � ffiffiffiffiffiffi �<sup>3</sup> <sup>p</sup> 2*χ*<sup>1</sup> ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � þ ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 3*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � � � ffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffiffi *χ*3 <sup>3</sup>*χ*<sup>1</sup> � *<sup>λ</sup>*<sup>2</sup> 2 9*χ*<sup>2</sup> 1 � �<sup>3</sup> <sup>þ</sup> �*χ*<sup>3</sup> 2 27*χ*<sup>3</sup> 1 <sup>þ</sup> *<sup>χ</sup>*2*χ*<sup>3</sup> 6*χ*<sup>2</sup> 1 � *<sup>χ</sup>*<sup>4</sup> 2*χ*<sup>1</sup> � �<sup>2</sup> <sup>r</sup> <sup>3</sup> s 2 6 6 6 6 6 6 4 3 7 7 7 7 7 7 5 � *<sup>χ</sup>*<sup>2</sup> 3*χ*<sup>1</sup> vuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuut (107)

$$
\boldsymbol{\rho}\_{6} = -\begin{bmatrix} \sqrt{\frac{\sqrt{\left(-\frac{\chi^{2}}{\chi^{2}\_{1}} + \frac{\chi\chi\chi\_{3}}{6\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi}{2\chi\_{1}}\right) + \sqrt{\left(\frac{\chi\_{1}}{3\chi} - \frac{\chi^{2}\_{1}}{9\chi^{2}\_{1}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi^{2}\_{1}}{2\chi^{2}\_{1}} + \frac{\chi\chi\chi\_{1}}{6\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi}{2\chi}\right)^{2}}{\sqrt{\left(-\frac{\chi^{2}\_{1}}{2\chi^{2}\_{1}} + \frac{\chi\chi}{2\chi^{2}\_{1}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi^{2}\_{1}}{2\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi\chi}{2\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi}{2\chi}\right)^{2}}}
\end{bmatrix} \tag{10}
$$

$$
\begin{split} \omega\_{6} = -\begin{bmatrix} \sqrt{\left(-\frac{\chi^{2}\_{2}}{2\chi^{2}\_{1}} + \frac{\chi\chi\chi}{6\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi}{2\chi}\right) + \sqrt{\left(\frac{\chi\chi}{3\chi} - \frac{\chi^{2}\_{1}}{9\chi^{2}\_{1}}\right)^{3} + \left(\frac{-\chi^{2}\_{1}}{2\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi\chi\chi}{2\chi}\right)^{2}} \\ -\sqrt{-\frac{\chi}{3}} & \sqrt{\left(\frac{-\chi^{2}\_{2}}{2\chi^{2}\_{1}} + \frac{\chi\chi\chi}{6\chi^{2}\_{1}} - \frac{\chi}{2\chi}\right) + \sqrt{\left(\frac{\chi$$
